2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение07.01.2010, 20:15 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Пусть случайные величины $X_1,X_2,...,X_n$ независимы и распределены по нормальному закону с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $\sigma^2$, а случайная величина $Z$ имеет вид $Z=X_1X_2\ldots X_n$. Требуется найти плотность распределения с.в. $Z$.
Я попытался решить данную задачу для $n=2$, но не смог взять следующий интеграл:
$$\int_{0}^{\infty}\frac 1x e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}-\frac{(\frac zx -a)^2}{2\sigma^2}} \
d x.$$

-- Чт янв 07, 2010 21:31:23 --

Я пришел к выводу, что для решения поставленной задачи достаточно решить её частный случай при $a=0$. Тогда необходимо вычислить значение интеграла
$$\int_{0}^{\infty} \frac 1x e^{-x^2-\frac {z^2}{x^2}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение09.01.2010, 19:46 
Экс-модератор


12/07/07
3228
Донецк, Украина
В предыдущем сообщении плотности выписаны с точностью до констант. Мне удобно было вычислить интеграл в полярных координатах, поэтому начну с функции распределения. Итак, ищем плотность произведения независимо распределенных стандартных нормальных случайных величин; рассматриваем случай $z>0$ ($z<0$ легко к нему сводится). Учитывая симметрию, получим
$F(z) = \frac{4}{2\pi} \int\limits_0^{\pi/4}d\varphi \int\limits_0^{z/(\cos \varphi \sin \varphi)} e^{-u/2}\,du/2 = - \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{\pi/2} \left( e^{-z/\sin \phi } -1\right)\,d\phi$.
Дифференцируя, делая замену переменной $u=\sin \phi $, а затем замену $t=1/u$, получим
$f(z) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^1 e^{-z/u} \frac{du}{u\sqrt{1-u^2}} = \frac {1}{\pi}\int\limits_{1}^{+\infty} e^{-zt} (t^2-1)^{-1/2}dt$.
Последний интеграл есть одно из интегральных представлений модифицированной функции Бесселя второго рода нулевого значка.
Таким образом, $f(z) =  \frac {1}{\pi} K_0(|z|)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение10.01.2010, 13:30 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Спасибо! Можно ли обобщить данное решение на произвольное $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение10.01.2010, 21:24 
Экс-модератор


12/07/07
3228
Донецк, Украина
В связи с распределением произведения $n$ независимых центральных нормальных случайных величин, легко найти в Интернете ссылку на статью M.D. Springer, W.E. Thompson The distribution of products of beta, gamma and Gaussian random variables // SIAM J. Appl. Math. Vol. 18., No.4, P. 721 (1970). jstor. К сожалению, у меня доступа к полному тексту этой статьи нет.

К слову, для произведения двух и трех независимых центральных нормальных случайных величин результат приведен на mathworld; также замечу, что для двух нормальных величин распределение произведения может быть легко найдено и в случае их коррелированности, см. задачу 3.1а (с. 77) в книге Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М., 1989.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение11.01.2010, 10:38 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение06.12.2016, 00:45 


24/01/09
563
Украина, Днепропетровск
При различающихся дисперсиях получается $P(z)=\frac{1}{\pi \sigma_x \sigma_y}K_0(\frac{|z|}{\sigma_x \sigma_y} )$

Но какой будет предел распределения при $\sigma_y\to0$ ?
... у этого бесселя асимптотика вроде $K_0(z\to\infty)=\sqrt{\frac{\pi}{2z}}e^{-z}$

Вроде явно не получается нормальное распределение от одной переменной

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение06.12.2016, 18:02 
Экс-модератор


12/07/07
3228
Донецк, Украина
Theoristos, в чем вопрос или что Вы хотите обсудить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение11.12.2016, 11:10 


24/01/09
563
Украина, Днепропетровск
GAA: не пойму, если выше верный вид распределения с разными $\sigma_x,\sigma_y$, получается ли предельный переход к обычному нормальному распределению при одной из сигм $\to 0$, когда мы "зажимаем" один из множителей до постоянного числа.
И должен ли вообще получаться, хотя вроде как должен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение11.12.2016, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6399
Почему - должен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение11.12.2016, 13:04 


24/01/09
563
Украина, Днепропетровск
Otta: а у нас в этом пределе разве не получается произведение величины с норм. распределением на константу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение11.12.2016, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3891
Theoristos в сообщении #1175911 писал(а):
Otta: а у нас в этом пределе разве не получается произведение величины с норм. распределением на константу?

На нуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение случ. величин, имеющих норм. распр.
Сообщение11.12.2016, 15:45 


24/01/09
563
Украина, Днепропетровск
--mS-- в сообщении #1175933 писал(а):
На нуль?

Тьфу ты! Смешался исходный пост со смещённым распределением.
Прошу прощения, вопросов нет :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group