2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равное количество цифр
Сообщение09.12.2016, 11:56 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Даны натуральные $m$ и $n$. Докажите, что существует натуральное $c$ такое, что
каждая ненулевая цифра входит в десятичные записи $c\cdot m$ и $c\cdot n$ одно и то же
число раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равное количество цифр
Сообщение09.12.2016, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3046
Уфа
Возьмём такое простое число $p$, чтобы длина периода дроби $1/p = 0.(X)$ превышала и $m$, и $n$. $X$ и подойдёт в качестве искомого $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равное количество цифр
Сообщение10.12.2016, 01:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
worm2
Ваше $X$ почти всегда будет начинаться с нескольких нулей...

 Профиль  
                  
 
 Re: Равное количество цифр
Сообщение10.12.2016, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3046
Уфа
Не вижу в этом проблемы. Ведь мы при подсчёте нулями не интересуемся.

А вот про то, что период дроби обязан равняться $p-1$, я не упомянул. Но конечность или бесконечность множества таких простых чисел — открытая проблема. Получается, что я в своём решении опираюсь на недоказанную гипотезу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равное количество цифр
Сообщение10.12.2016, 12:35 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
worm2 в сообщении #1175622 писал(а):
... Получается, что я в своём решении опираюсь на недоказанную гипотезу.

А вот это уже странновато, поскольку задача -- школьная (№8):
http://www.mathschool.ru/storage/SCCont ... D0%B5_.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Равное количество цифр
Сообщение10.12.2016, 12:51 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Ktina)

На кой чёрт между буквами \cdot вставлять? У вас в Палестине так принято? Глаза режет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равное количество цифр
Сообщение10.12.2016, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3046
Уфа
Цитата:
задача -- школьная
Что ж Вы сразу не сказали? Сразу легче стало решать :D Хотя для устной олимпиады, по-моему, всё равно сложновато.

Подберём такое натуральное $k$, чтобы число $10^kn-m$ было положительным, и у него был делитель, взаимно простой с 10 и больший $\max(m,n)$. Обозначим его через $q$: $10^kn-m=Nq$, где $N$ — натуральное.
Дроби $m/q$ и $n/q$ — правильные, и знаменатель у них не делится ни на 2, ни на 5. Обе эти дроби будут иметь вид $0.(?)$, то есть не будут иметь предпериода. Не знаю, что это за теорема, но доказывается легко, домножением числителя и знаменателя на какое-то число, чтобы знаменатель стал равным $10^{\text{что-то}}-1$. Далее:
$$\frac m q = \frac n q 10^k - N.$$ Это означает, что период дроби $m/q$ является циклической перестановкой периода дроби $n/q$. С другой стороны, эти периоды (рассматриваемые как целые числа) есть произведения $m$ и $n$ соответственно на период дроби $1/q$ (также рассматриваемый как целое число $c$: $1/q=0.(c)$). Это и есть то $c$, про которое утверждается в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равное количество цифр
Сообщение10.12.2016, 15:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
worm2
Большое спасибо!

-- 10.12.2016, 15:36 --

Aritaborian в сообщении #1175637 писал(а):

(Ktina)

На кой чёрт между буквами \cdot вставлять? У вас в Палестине так принято? Глаза режет.

Вы по ссылке, данной мной, перейдите, там тоже так написано, через точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равное количество цифр
Сообщение10.12.2016, 17:33 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Ktina в сообщении #1175693 писал(а):
там тоже так написано, через точку.
И что с того.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group