Предел синуса натурального аргумента

[Cakes]

Помогите пожалуйста разобраться с таким пределом :$\lim\limits_{n\to\infty}{n|\sin{n}|}$ тут $n$ принимает натуральные значения. Будет ли такой предел существовать? Мне кажется, что $n$ будет бесконечно близко приближаться как к $\frac{\pi}{2}+\pi{k}$ так и к $\pi{k}$. Значит предел не существует? Или же $n$ будет подходить только к одной из этих точек, тогда предел будет или $0$ или $\infty$.

[Brukvalub]

Cakes в сообщении #1175010 писал(а):

Мне кажется, что $n$ будет бесконечно близко приближаться как к $\frac{\pi}{2}+\pi{k}$ так и к $\pi{k}$.

Попробуйте это обосновать.

[Cakes]

Я рассматривал тригонометрический круг, на нем никакие 2 натуральных числа не попадут в одну точку, т.е. на бесконечности $n$ попадет в окрестности этих точек. Я понимаю, что надо бы это через эпсилоны доказать, но я пока не догадался как.

[Brukvalub]

Обычно используют иррациональность числа "пи" и принцип Дирихле.

[Евгений Машеров]

$\sin (n+1)=\sin n \cos 1+\cos n \sin 1$

[Cakes]

Евгений Машеров
Ну, это факт, только как его применить к поставленной задаче. Я сомневаюсь что это даст что-нибудь.

[Brukvalub]

Cakes в сообщении #1175294 писал(а):

как его применить к поставленной задаче.

Предположить, что $\sin n $ - бесконечно малая и прийти к противоречию.

[Cakes]

Блин, точно, это же очевидно, спасибо большое)

[Евгений Машеров]

Cakes в сообщении #1175294 писал(а):

Евгений Машеров
Ну, это факт, только как его применить к поставленной задаче. Я сомневаюсь что это даст что-нибудь.

Исключить нулевой и вообще конечный предел. Вот для исключения стремления к бесконечности нужно иначе.

[Cakes]

Евгений Машеров
Я доказал, что этот предел не равен нулю, вы говорите что необходимо исключить стремление к бесконечности, но ведь если $\sin{n}$ при $n\to\infty$ не лежит в окрестности нуля, то предел будет равен бесконечности. Исходя из того что мы что-то бесконечно большое умножаем на что-то не бесконечно малое. Разве не так?

[popolznev]

Cakes в сообщении #1175690 писал(а):

Я доказал, что этот предел не равен нулю

Предел-то не равен нулю, но это не значит, что 0 - не предельная точка последовательности.

[Cakes]

popolznev
Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом. Вот что я нашёл в википедии. Это верно?
Тогда если нет предела нет и предельной точки? Или я слишком наивен?

[popolznev]

Cakes в сообщении #1175698 писал(а):

popolznev
Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом. Вот что я нашёл в википедии. Это верно?

Это-то верно - странное недоверие к Википедии! - но раз уж вы обратились к ней, то гляньте и определение предельной точки последовательности. И тогда сразу отпадёт вопрос:

Цитата:

Тогда если нет предела нет и предельной точки?

[Cakes]

Да, действительно вопросы отпали. Получается осталось доказать только что предел не равен бесконечности. Не дадите какую-нибудь подсказку, с чего тут можно было бы начать?

[melnikoff]

Наверное так. Чтобы доказать, что предел не равен бесконечности, нужно показать, что существует такое $\varepsilon > 0$, что существует бесконечно много членов данной последовательности, не превосходящих $\varepsilon$.