О натуральном представлении функции Дирака

[jeremeev]

Хотел бы обсудить различные представления функции Дирака. Обычно она задаётся так:

$ \delta (x) = 0 , \forall x \neq 0 $

$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1 $

Одно из типовых представления - через предел последовательности функций, например:

$ f_n(x) = n f(nx), n \in \mathbb{N} $

Также известны представления через тригонометрические функции, экспоненты и функцию Лоренца.

На мой взгляд, все они немного страдают от недостатка естественности. Вот, есть такая кривая:

$ y = \frac{d^2}{x^2 + d^2}$

Далее, возьмём её эллиптический вариант:

$ \frac{x^2}{b^2} + \frac{(y-a)^2}{a^2} = 1 $

Вот в этом и изюминка. Не трудно видеть, что предел при $a \rightarrow \infty$ и $ b \rightarrow 0$, получим при условие нормировки (которое легко вывесть) представяление, которое я назвал "натуральным".

После некоторых преобразований получим конечную форму:

$ y = \frac{n}{\pi ((xn)^2 + 1)} $

Теперь $n$ имеет натуральный геометричекий смысл - оно обратно пропорционально длине малой оси эллипса.

Странно, почему об это не догадывался сам Дирак.

[arseniiv]

Вообще функция Дирака — это не обычная функция, а обобщённая (термин), и её определениями всё вышеприведённое не является. Для определения её как предела этот предел тоже должен пониматься во вполне определённом смысле.

[Red_Herring]

jeremeev в сообщении #1174739 писал(а):

Обычно она задаётся так:

Обычно, математики за такое "определение" бьют.

[jeremeev]

Red_Herring в сообщении #1174759 писал(а):

"определение" бьют

(Оффтоп)

Из своего опыта говорите?

[Brukvalub]

jeremeev в сообщении #1174739 писал(а):

После некоторых преобразований получим конечную форму:

$ y = \frac{n}{\pi ((xn)^2 + 1)} $

И где же здесь функция Дирака?

[jeremeev]

Brukvalub в сообщении #1175028 писал(а):

И где же здесь функция Дирака?

Ну, есть такая штука, функциональный предел называется.

[Brukvalub]

jeremeev в сообщении #1175034 писал(а):

Ну, есть такая штука, функциональный предел называется.

Поделитесь определением функции Дирака с помощью написанной вами функции и штуки "функциональный предел", а то обсуждать-то пока нечего, нужно домысливать, а мысли приходят разные.

[jeremeev]

Brukvalub в сообщении #1175037 писал(а):

Поделитесь определением функции Дирака с помощью написанной вами функции

Устремляем $n$ к бесконечности...

Brukvalub в сообщении #1175037 писал(а):

а мысли приходят разные

Ну так поделитесь.

[Brukvalub]

jeremeev в сообщении #1175042 писал(а):

Устремляем $n$ к бесконечности...

Тогда во всех ненулевых точках предел этой функциональной последовательности будет равен нулю, а в нуле - предела нет. И при чем здесь функция Дирака.

jeremeev в сообщении #1175042 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1175037

писал(а):
а мысли приходят разные

Ну так поделитесь.

Укрепляюсь в мысли, что вы сами не понимаете того, о чем говорите.

[Alex_J]

jeremeev в сообщении #1175042 писал(а):

Устремляем $n$ к бесконечности...

Вы как-то странно издалека пришли к производной от $\frac{\arctg xn}{\pi}$. При $n\to\infty$, вопрос Вам, как эта функция себя ведёт?
Увеличение значения на 1 в нуле происходит. Достаточно ли этого, по-Вашему?

[Karan]

jeremeev, объясните, в каком смысле понимается предел (формальное определение) и докажите, что Ваше выражение тоже имеет в этом смысле пределом дельта-функцию.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- недостаточно строго сформулирована тема обсуждения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.