Применение дифференциала к приближенным вычислениям

[Diosio]

У нас этой темы в этом семестре не будет, но как не странно в РГР она есть.
Задание: вычислить приближенно $f(x)=\arcsin0.3$
Найдя пример подобного решения в "Конспект лекций по высшей математике" Письменный Д.Т., только там $\arctg1.05$
Я начал решать свое:
$\arcsin(0.3)$
$f(x)=\arcsin(x)$
$\arcsin(x+\Delta x) \approx \arcsin(x) + (\arcsin(x))'\Delta x$
$\arcsin(x +\Delta x) \approx \arcsin(x) + \frac{\Delta x}{\sqrt{1-x^2}}$
ну и теперь мне надо разбить 0.3 на $x$ и $\Delta x$ так что бы $\arcsin(x)$ был табличным, и чтобы корень извлекался, я взял $x=0 \Delta x=0.3$, тогда
$\arcsin(0.3)=0.3$ но меня пугает, то что мой ответ отличается на 0.00469 от ответа на калькуляторе
Так и должно быть?

[DeBill]

Diosio в сообщении #1174220 писал(а):

меня пугает, то что мой ответ отличается на 0.00469 от ответа на калькуляторе

Ну так мы же получили - приближенный ответ. Причем с довольно приличной точностью.
Чуть точнее получится если Ваше 0.3 "разбить" иначе: $0.3=0.5 - 0.2$

[Sinoid]

Diosio в сообщении #1174220 писал(а):

$ \Delta x=0.3$,

вы $\Delta x$ взяли ну очень большим. Задачи с такими не очень удобными числовыми данными лучше (точнее) решать в несколько итераций с маленькими $\Delta x$.

[Munin]

Diosio в сообщении #1174220 писал(а):

меня пугает, то что мой ответ отличается на 0.00469 от ответа на калькуляторе

Это, наоборот, очень хорошо! Заметьте, это отличия на тысячные доли, а ваше значение - десятые. То есть, относительная погрешность порядка процента. Сравните метр и сантиметр - разве это много?

Вспомните, в задачах по физике часто предлагают округлять $g\approx 10\text{ м}/\text{с}^2,$ при этом тоже совершается ошибка порядка процента.

В школьной физике и в быту процент - приемлемая погрешность. (Вспомните, например, размеры одежды, которые определяются до сантиметра.) В точных расчётах в физике и технике бывает одна тысячная - 0,1 %. Но ещё более высокая точность встречается крайне редко. Её трудно достичь, и поэтому часто это не оправдано практическими надобностями.

-- 05.12.2016 13:50:43 --

Sinoid в сообщении #1174265 писал(а):

вы $\Delta x$ взяли ну очень большим.

Ценно то, что даже при таком большом $\Delta x$ получается такая малая погрешность.

[wrest]

Diosio в сообщении #1174220 писал(а):

мой ответ отличается на 0.00469 от ответа на калькуляторе
Так и должно быть?

Третий член разложения (который со второй производной) при выбранном $x=0$ будет равен нулю, а в четвертом $\Delta x$ будет возводиться в куб и делиться на 6, так что он будет равен $\dfrac{(3\cdot10^{-1})^3}{6}=\dfrac{27}{6}10^{-3}=\dfrac{24+3}{6}10^{-3}=(4+\dfrac36)10^{-3}=0.0045$, так что да, так и должно быть.

[bot]

(занудствую)

wrest в сообщении #1174298 писал(а):

так и должно быть

Не должно, а может. К примеру, $\cos 2\pi - \cos 0 \approx \cos' 0 \cdot 2\pi=0$. А какая "должна" быть погрешность?

[wrest]

(Где я? И математик ему отвечает: Вы на воздушном шаре)

bot в сообщении #1174499 писал(а):

Не должно, а может.

Это очень занудное теоретическое рассуждение верно, если ничего не знать об аппроксимируемой функции и/или её разложении в ряд.

[bot]

(не занудствую)

С каких пор верность рассуждения стала зависеть от знания/не знания каких-то фактов?

[arseniiv]

Надо добавить, что $\Delta x = 0{,}3$ само по себе не много и не мало. И даже значения погрешностей приобретают смысл только в контексте (уже Munin написал: где-то процент — прекрасно, а где-то недопустимо). То же относится к вероятностям, корреляциям и прочим вещам, которые иногда норовят назвать большими или маленькими просто так.