Треугольник из пятиугольника

[Ktina]

(по мотивам задачи Московской Математической Ренаты)

Из пяти палочек сложен контур пятиугольника. Обязательно ли из них можно сложить контур треугольника (некоторые из сторон треугольника складываются более чем из одной палочки)?

[ИСН]

Ну вот у нас стороны: a, b, c, d, e. Смотрим: если a+b>c+d+e, то спрямляем последние три, и вот у нас треугольник. Если наоборот, то спрямляем первые две, и вот четырёхугольник; его стороны разбиваем произвольным образом на две последовательные пары, смотрим, какая из них (из пар) суммарно короче, и спрямляем её.

[Ktina]

ИСН в сообщении #1172713 писал(а):

...и вот четырёхугольник; его стороны разбиваем произвольным образом на две последовательные пары, смотрим, какая из них (из пар) суммарно короче, и спрямляем её.

А если у этого 4-угольника все стороны окажутся равными?

[ИСН]

Тогда возвращаемся к пятиугольнику и пластаем его как-нибудь по-другому (выделяя другую пару сторон). Всего у нас 5 вариантов; во всех такое безобразие получиться не может, потому что для этого надо, чтобы три стороны пятиугольника были равны друг другу, иные три тоже, и короче, все равны, а при этом две из них - меньше.

[Ktina]

ИСН
Большое спасибо!

[melnikoff]

Упорядочим стороны пятиугольника по неубыванию: $0<x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant x_4\leqslant x_5$.
Например, очевидны следующие неравенства:
$x_1 + x_3 + x_5>x_2 + x_4$,
$x_2 + x_4 + x_5>x_1 + x_3$,
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4>x_5$ (неравенство "пятиугольника").
Эти три неравенства являются неравенствами треугольника со сторонами $x_1 + x_3$, $x_2 + x_4$ и $x_5$.