Произведение векторного и скалярного произведений векторов

[Ingus]

Даны веткторы в декартовом базисе:
$\mathbf{R}(R_x,R_y,R_z), \mathbf{r}(x,y,z)$
Как доказать, не прибегая к непосредственному перемножению координат, тождество:
$(\mathbf{R}\times\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}\cdot{R})=(J\cdot\mathbf{R})\times\mathbf{R}$
где
J=$\begin{bmatrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz &-yz & x^2+y^2 \end{bmatrix}$
Если оба $ \mathbf{r} $ представить в виде кососимметричной матрицы, то все получается. Но какие законные основания для этого есть?

[Munin]

Никаких. Ищите другие пути.

-- 16.11.2016 13:37:18 --

Подсказка: чтобы увидеть в $J$ более ясную структуру, прибавьте и вычтите $\operatorname{diag}(x^2,y^2,z^2).$

[Утундрий]

Вообще-то есть: посредством дискриминантного тензора любому вектору можно однозначно сопоставить кососимметрический тензор.

[amon]

Ingus в сообщении #1169411 писал(а):

$(\mathbf{R}\times\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}\cdot{R})=(J\cdot\mathbf{R})\times\mathbf{R}$

Что-то у меня концы не сходятся (правда набегу и в уме). Пусть $r=(x,0,0)$. По-моему, правая часть не равна левой.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1169431 писал(а):

Что-то у меня концы не сходятся (правда набегу и в уме)

А как оно может сходиться, когда левая часть бессмысленна? что такое $R$? Если это скаляр, то $\mathbr{r}\cdot R$ не есть скалярное произведение, а если вектор, то $\mathbr{r}\cdot \mathbf{R}$ это скаляр, ну наружная $\cdot$ не есть скалярное произведение

[Ingus]

Спасибо за подсказку.
У меня получилось $J=\operatorname{diag}(r^2,r^2,r^2)-\mathbf{r}^T\mathbf{r}$.
Понимаю, что так не пишут.. Наверное тензорная запись с индексами приведет нас к класическому определению тензора инерции?

-- 16.11.2016, 16:00 --

Red_Herring в сообщении #1169435 писал(а):

что такое $R$?

$\mathbf{R}$ это вектор, как я и сказал. Виноват, что не подсветил.
Исправлюсь:
$(\mathbf{R}\times\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}\cdot\mathbf{R})=(J\cdot\mathbf{R})\times\mathbf{R}$

[Munin]

amon
Red_Herring
Всё сходится, внутренняя точка - скалярное произведение, а внешняя - просто умножение вектора на число.

Ingus в сообщении #1169437 писал(а):

У меня получилось $J=\operatorname{diag}(r^2,r^2,r^2)-\mathbf{r}^T\mathbf{r}$.

Ага, правильно. Теперь можно посчитать произведение этой штуки на $\mathbf{R}.$

Вообще, ваше доказываемое равенство имеет тип "преобразуй правую часть к левой". А чаще дают "преобразуй левую часть к правой". Вот это вас и могло сбить с толку.

(P. S. Я бы записал немного в другом виде: $J=(r^2)\hat{E}-\mathbf{r}\otimes\mathbf{r},$ но это скорее вопрос обозначений, а не сути. Тут важнее (следующая подсказка), как устроены тензоры вида $\mathbf{a}^\mathrm{T}\mathbf{b},$ и как они ведут себя при умножении на вектор слева или справа.)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1169445 писал(а):

а внешняя - просто умножение вектора на число.

Это после того, как ТС поправил задачу. Тогда, согласно стандарту, число ставится слева от вектора и без всякой точки.

С некоторыми надо держать ухо востро: они из-за небрежности превращают тривиальное упражнение в Загадку Мироздания.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1169455 писал(а):

Это после того, как ТС поправил задачу.

Это можно было догадаться и до. Про "загадку мироздания" вы сильно преувеличили. Здесь полезней учитель, а не язвитель.

Red_Herring в сообщении #1169455 писал(а):

Тогда, согласно стандарту, число ставится слева от вектора и без всякой точки.

Так принято, и чаще всего и делается, но не обязательно.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1169464 писал(а):

Это можно было догадаться и до.

Можно было, а можно было и подумать, что $R=|\mathbb{R}|$, и щедро расставленные знаки скалярного умножения не помогали выбрать правильный вариант. Поэтому я предпочел уточнить

[amon]

Ingus в сообщении #1169437 писал(а):

Исправлюсь:
$(\mathbf{R}\times\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}\cdot\mathbf{R})=(J\cdot\mathbf{R})\times\mathbf{R}$

А тогда все скучно. Записав $(\mathbf{R}\times\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}\cdot\mathbf{R})$ как $\varepsilon_{ikl}R_kr_l\delta_{st}r_sR_t$ (как всегда, по повторяющимся индексам - суммирования) и попереставляв немые индексы и сомножители, получим искомое.

-- 16.11.2016, 19:08 --

Да, еще надо воспользоваться тем, что свертка по паре индексов симметричного по этой паре тензора с антисимметричным равна нулю ($S_{ik\dots}A_{ik\dots}=0$).

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1169495 писал(а):

Поэтому я предпочел уточнить

Пока вы уточняли, вся помощь уже была оказана.

amon в сообщении #1169506 писал(а):

Записав $(\mathbf{R}\times\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}\cdot\mathbf{R})$ как $\varepsilon_{ikl}R_kr_l\delta_{st}r_sR_t$ (как всегда, по повторяющимся индексам - суммирования) и попереставляв немые индексы и сомножители, получим искомое.

Покажите в ЛС, плиз.

[Ingus]

amon в сообщении #1169506 писал(а):

(как всегда, по повторяющимся индексам - суммирования)

Длинные слова расстраивали Винни Пуха, а меня расстраивает тензорная нотация. Хотелось бы остаться в терминах векторов и матриц..

-- 17.11.2016, 15:25 --

Munin в сообщении #1169445 писал(а):

и как они ведут себя при умножении на вектор слева или справа.

Чтобы тензор умножить на вектор, в моем понимании, его нужно представить в виде строки векторов (тогда знак умножения будет справа), или в виде столбца векторов, тогда знак умножения будет слева.

Munin в сообщении #1169445 писал(а):

Теперь можно посчитать произведение этой штуки на $\mathbf{R}$

Получилось что-то вроде
$r^2\mathbf{R}-(\mathbf{R}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}$

[amon]

Munin в сообщении #1169628 писал(а):

Покажите в ЛС, плиз.

Ingus в сообщении #1169668 писал(а):

Длинные слова расстраивали Винни Пуха, а меня расстраивает тензорная нотация.

Ну, если так, то напишу здесь. Глядишь, уважаемому Ingus'у этот способ тоже понравится. IMHO, тензорная нотация часто удобнее для вывода простых соотношений. Итак, перепишем всё в ненавистных тензорных значках:
$J=\operatorname{diag}(r^2,r^2,r^2)-\mathbf{r}^T\mathbf{r}\Rightarrow J_{jk}=r^2\delta_{jk}-r_jr_k$.
Тогда
$J\mathbf{R}\times\mathbf{R}=\varepsilon_{ijk}J_{jl}R_lR_k=\varepsilon_{ijk}r^2\delta_{jl}R_lR_k-\varepsilon_{ijk}r_jr_lR_lR_k$. (*)

Первый член в этом выражении равен нулю, поскольку $\varepsilon_{ijk}r^2\delta_{jl}R_lR_k=r^2\varepsilon_{ijk}R_jR_k$. Тензор $\varepsilon_{ijk}$ антисимметричен по значкам $j$ и $k$, а тензор $R_jR_k$ - симметричен. Поэтому первый член - тождественный ноль, как свертка симметричного тензора с антисимметричным. Итого,
$J\mathbf{R}\times\mathbf{R}=-\varepsilon_{ijk}r_jr_lR_lR_k$.
Левая часть равна
$\mathbf{R}\times\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r}\cdot\mathbf{R})=\varepsilon_{ikj}R_kr_jr_lR_l=-\varepsilon_{ijk}r_jr_lR_lR_k$. (**)

Если всю филологию убрать, то останется две строчки - (*) и (**).

[Ingus]

amon в сообщении #1169674 писал(а):

Глядишь, уважаемому Ingus'у этот способ тоже понравится.

Способ великолепный. Мне понравилось. Жаль, что для меня тензорная нотация, как нотная грамота... не владею...На гитаре соло цифрами записываю - струна-лад.
Тождество доказано. Но остался вопрос, можно ли из двух звездочек получить одну звездочку, а не наоборот? Я интуитивно и ошибочно заменил оба $\mathbf{r}$ кососимметричными матрицами, и все сошлось. Но это же неправильно?