Сигма-алгебра

[Valenok123]

Скажите существует ли какой то жесткий алгоритм для пополнения произвольного класса множеств (которые являются подмножествами некоторого множества) до минимальной сигмы-алгебры? К примеру сначала пополнить данный класс множеств до минимального полукольца, потом до кольца, потом до сигма-кольца, а потом до сигма-алгебры? Или же это делается таким образом, чтобы полученная система удовлетворяла определению сигма-алгебры, то есть
1) берутся сначала дополнения к каждому множеству из данного класса,
2) потом находятся пересечения всевозможные конечные,
3) потом снова дополнения для множеств, которые получились в результате пересечения,
4) потом всевозможные конечные и бесконечные объединения,
5) потом у получившихся множеств (которые получились в результате объединений из пункта 4) берутся дополнения,
6) потом конечные пересечения с множествами из всех предыдущих пунктов
7) потом снова объединения и так до тех пор, пока круг не замкнется?

[Someone]

Примерно так. Но поаккуратнее надо процедуру описать.

[_hum_]

Когда-то для себя выписывал (но не проверял):

Цитата:

Минимальное над произвольным классом $M\subset \mathcal{P}(X)$ $\sigma-$кольцо, как можно показать, включает те и только те множества, которые либо входят в $M$, либо получаются, отправляясь от множеств класса $M$ посредством конечной или счетной совокупности следующих двух операций:
1) $A_1\cup A_2\cup\dots$ - конечное или счетное объединение;
2) $A_2 \setminus A_1$ - вычитание
(Более подробно в Прибаление IV академика Н.Н. Лузина к книге А. Лебег, Интегрирование и отыскание примитивных функций, 1934)

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1168450 писал(а):

Но поаккуратнее надо процедуру описать.

Присоединяюсь.
Потому что прозвучало слово "сигма", а слов "счётное объединение" и "счётное пересечение" не прозвучало. Вместо этого какие-то невнятные "конечные и бесконечные". Бесконечные - что ли, какие угодно?

Valenok123 в сообщении #1168436 писал(а):

и так до тех пор, пока круг не замкнется?

Ещё надо понимать, что "круг" может и не замкнуться. Тогда даже бесконечного количества шагов по этой схеме, вообще говоря, не хватит. Шагов должно быть столько, сколько есть счётных ординалов.

[Valenok123]

Mikhail_K в сообщении #1168486 писал(а):

Ещё надо понимать, что "круг" может и не замкнуться. Тогда даже бесконечного количества шагов по этой схеме, вообще говоря, не хватит. Шагов должно быть столько, сколько есть счётных ординалов.

Говоря "по этой процедуре", вы имеете ввиду конкретно мою схему или же в принципе про то, что можно не построить сигма-алгебру? (я вроде читал, что можно задать минимальную сигма-алгебру на произвольном классе множеств). И скажите, пожалуйста, что значит:

Mikhail_K в сообщении #1168486 писал(а):

Шагов должно быть столько, сколько есть счётных ординалов.

как связаны счетные ординалы с сигмой-алгеброй?

В процедуре звучало конечное пересечение, так как можно показать, что при замкнутости относительно счетного объединения и конечной разности, будет так же замкнутость относительно счетного пересечения. Думал что это позволит уменьшить количество шагов в процедуре.

[g______d]

Valenok123 в сообщении #1169152 писал(а):

как связаны счетные ординалы с сигмой-алгеброй?

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_set ... el_algebra

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy

[Valenok123]

Спасибо большое! Скажите, я русскоязычная литература по данному аспекту есть?

[grizzly]

Valenok123 в сообщении #1169518 писал(а):

Скажите, я русскоязычная литература по данному аспекту есть?

Нет, Вы есть Valenok123

А что касается русскоязычной литературы, посмотрите, может это Вам пригодится.

[Valenok123]

Спасибо огромное!