Матанализ, левый предел функции по Коши

[Mungor]

Доброго времени суток.

$\lim_{a-0}f(x)=A-0$
Написать определение этого предела по Коши.

Я написал следующим образом:
$\forall\varepsilon >0 \exists \delta >0:\forall x\in (a-\delta , a) \Rightarrow |f(x)-(A-0)|<\varepsilon $

Является ли это утверждение верным? Если нет, то как стоило бы написать?

[gris]

Правильно. Только можно писать просто $A$, т.к. $A-0=A$, а "$-0$" в этом выражении никакой смысловой нагрузки не несёт. (Разве что вашим лектором она как-то определена. Например, что функция приближается строго снизу. Тогда надо записать неравенство как $0<A-f(x)<\varepsilon$. Но это мои фантазии.)
Предел лучше записать так: $\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=A$

[Brukvalub]

Mungor в сообщении #1168044 писал(а):

Является ли это утверждение верным?

Нет. Должно быть так:

Mungor в сообщении #1168044 писал(а):

$\lim_{a-0}f(x)=A-0$
Написать определение этого предела по Коши.

Ответ:
$\forall\varepsilon >0 \exists \delta >0:\forall x\in (a-\delta , a) \Rightarrow 0\leq A-f(x)<\varepsilon $

[Mungor]

Всем большое спасибо

[Padawan]

Лучше написать в таком случае $f(x)\to A-0$ при $x\to a-0$. Предел это все-таки число, о чем и сказал gris.

[Brukvalub]

Padawan, хорошее замечание! Но я сплошь и рядом вижу допущенную в стартовом посте небрежность в записи, она, де-факто, стала нормой и расшифровывается именно так, как я написАл.

[gris]

Мои фантазии оказывается реальны
Но тут не небрежность, а неоднозначное толкование. Да, вспомнил и посмотрел в Демидовиче. Там задачи типа сформулировать с помощью неравенств, что значит $y\to b-0$ при $x\to a+0$. В некоторых учебниках пишется $f(3+0)$ обозначая этим предел. В других-таки как у ТС. При этом, где интервал для функции открыт со стороны значения предела, где закрыт. А уж на лекциях для нематематиков бывают обозначения для монотонного стремления, для пары односторонних пределов в одном флаконе и проч.
Наглядно и, в общем-то, совершенно некритично. Но может служить маркером хождения на лекции .
То есть вполне возможно, что у ТС должна быть запись $0\leqslant A -f(x) <\varepsilon$, или $f(x)\in (A-\varepsilon,A]$. Причём не каждый студент сможет показать эквивалентность или разобрать контрпример. Но есть у преподавателей добродушие. Надо верить в него.