Разложение функции в ряд Фурье и условия Дирихле

[paradiseva]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.

Есть задание: Построить график функции $F(x)$, убедиться, что она удовлетворяет условиям Дирихле с последующим разложением в ряд Фурье.

$$ F(x)=\begin{cases} 4-x, x\in (-3;0);\\ 2, x\in (0;3); \end{cases} $$

График функции построила просто "в лоб". Как поняла:



По условиям Дирихле поняла, что нужно доказать кусочную непрерывность, монотонность и ограниченность.

Мне не совсем понятно из чего следует ограниченность моей функции? Из условия ограничений для $x$?

Для монотонности нашла определение:

Цитата:

Функция $f(x)$ называется кусочно монотонной на сегмента $ [a,b] $, если этот отрезок разбивается на конечное число сегментов $ [a, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], [x_{2}, x_{3}] . . . , [x_{n}, x_{b}]$ в каждом из которых функция $f(x)$ монотонна.

Могу ли я сказать, что данная мне функция на интервалах $(-3;0) и (0;3) $ монотонна и непрерывна. Следовательно, вся функция $F(x)$ кусочно непрерывна и кусочно монотонна, т.е. она состоит из конечного числа непрерывных и монотонных функций.

Полученное мной разложение получилось таким:

$$f(x) \sim \frac{15}{4} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\Biggr( \frac{3((-1)^{n}-1)}{(\pi n)^2} \cos\frac{\pi n x}{3}+\frac{5(-1)^n-2}{\pi n} \sin\frac{\pi n x}{3}\Biggr) $$

[Slav-27]

paradiseva
А вы сформулируйте эти самые условия Дирихле, а также определение кусочной монотонности и кусочной непрерывности -- и станет легче. У вас есть учебник или лекции?

[paradiseva]

Slav-27 в сообщении #1165664 писал(а):

paradiseva
А вы сформулируйте эти самые условия Дирихле, а также определение кусочной монотонности и кусочной непрерывности -- и станет легче. У вас есть учебник или лекции?

Университет 10 лет назад был окончен был. Помогаю по доброй воле, раз взялась, значит, должна разобраться. Поэтому, конспектов и лекций у меня нет. Но я нашла следующее:

Цитата:

Достаточным условием разложимости функции в ряд Фурье является теорема Дирихле.
Пусть $2\pi$ - периодическая функция$ f(x)$ на отрезке $[-\pi;\pi] $удовлетворяет двум условиям:

1) $f(x)$ - кусочно непрерывная, то есть непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода;
2) $f(x)$ - кусочно монотонная, то есть монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда $S(x)$ совпадает с самой функцией $f(x)$, $S(x) = f(x)$;
2. В каждой точке $x_{0}$ разрыва функции сумма ряда равна $S(x) = \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$, то есть равна среднему арифметическому слева и справа.
3. В точках $ x=-\pi$; $x=+\pi$ сумма ряда равна $S(-\pi) = S(+\pi) = \frac{f(-\pi+0)+f(\pi-0)}{2}$.

Вот на основании этих условий решила оттолкнуться.

Теорема Дирихле:

Цитата:

Если функция $f(x)$ задана на сегменте $\ [-\pi; \pi]$ и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента $\ [-\pi; \pi]$

Рассуждения:

На интервале $ ( -3;3) $ функция ограничена, на интервалах $(-3;0) и (0;3) $ функция монотонна и непрерывна. Следовательно, вся функция $F(x)$ кусочно непрерывна и кусочно монотонна.

Могу ли я так просто обойтись в данном случае этими рассуждениями?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Vince Diesel]

Да.