Как вводится мера

[Yodine]

Как вводится мера?
Предыстория вопроса.

Yodine в сообщении #1165352 писал(а):

Мера вводится так. Берется множество и на нем задается числовая функция с определенными свойствами, эту функцию называют мерой множества.

Someone в сообщении #1165353 писал(а):

Yodine в сообщении #1165352 писал(а):

Мера вводится так. Берется множество и на нем задается числовая функция с определенными свойствами, эту функцию называют мерой множества.

Откройте учебник по функциональному анализу (Колмогорова и Фомина, например) и посмотрите, как там вводится мера. И кончайте писать ерунду, тем более — в чужой теме, пока Вас не заблокировали.

Книга Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, Москва 1976.

Стр. 48, Глава II Метрические и топологические пространства, § 1. Понятие метрического пространства.
Сравниваю со своим текстом, все верно.

Стр. 265, Глава V Мера, измеримые функции, интеграл, § 2. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Аддитивность и а-аддитивность
Сравниваю со своим текстом, все верно.

Вроде не ерунда, просьба подсказать, что неверно в моей фразе.

[Xaositect]

Yodine в сообщении #1165352 писал(а):

Мера вводится так. Берется множество и на нем задается числовая функция с определенными свойствами, эту функцию называют мерой множества.
Если мы желаем измерять расстояние, то мы задаем некое множество, на котором задаем функцию меры, которую называем расстояние.
Если мы желаем измерять время, то мы должны задать некое множество, на котором задаем функцию, которую называем время.
Если мы желаем измерять, вычислять вероятности, то мы должны задать некое множество (называемое множество событий - пространство элементарных событий, имеющее свое определение и правила построения), на котором задаем функцию, которую называем вероятностной мерой и вероятностью.

Мера и метрика - это совершенно разные вещи, и путать их нельзя.
Расстояние не является мерой, оно является метрикой. Временной интервал (а не время) является тоже не мерой, а метрикой.
Множество событий и пространство элементарных событий (исходов) - это два разных множества.

Yodine в сообщении #1165358 писал(а):

Мера вводится так. Берется множество и на нем задается числовая функция с определенными свойствами, эту функцию называют мерой множества.

Не любое множество, а $\sigma$-алгебра множеств.

[Yodine]

Xaositect в сообщении #1165362 писал(а):

Мера и метрика - это совершенно разные вещи, и путать их нельзя.

Я понимаю, что разные вещи, хотя и не слишком глубоко и может быть ошибочно. Понятие меры, как я понимал ранее, сейчас сомневаюсь уже, это обобщение понятия метрики.

Xaositect в сообщении #1165362 писал(а):

Множество событий и пространство элементарных событий (исходов) - это два разных множества.

Да, я так и понимал.

Xaositect в сообщении #1165362 писал(а):

Не любое множество, а $\sigma$-алгебра множеств.

Конечно.

[Xaositect]

Yodine в сообщении #1165368 писал(а):

Я понимаю, что разные вещи, хотя и не слишком глубоко и может быть ошибочно. Понятие меры, как я понимал ранее, сейчас сомневаюсь уже, это обобщение понятия метрики.

Нет, это разные вещи. Очень грубо говоря, в $n$-мерном пространстве метрика позволяет измерять одномерные вещи, а мера - $n$-мерные. Какие-то связи меду ними могут быть в одномерном случае или в присутствии дополнительной структуры.

-- Ср ноя 02, 2016 11:14:47 --

Yodine в сообщении #1165368 писал(а):

Xaositect в сообщении #1165362 писал(а):

Не любое множество, а $\sigma$-алгебра множеств.

Конечно.

Ну вот множество пар точек в трехмерном пространстве (на котором вводится метрика) сигма-алгеброй не является.

[Yodine]

Получается, что в сообщении

Yodine в сообщении #1165352 писал(а):

МераМетрика вводится так. Берется множество и на нем задается числовая функция с определенными свойствами, эту функцию называют мерой множества.
Если мы желаем измерять расстояние, то мы задаем некое множество, на котором задаем функцию меры, которую называем расстояние.
Если мы желаем измерять время, то мы должны задать некое множество, на котором задаем функцию, которую называем время.

правильно будет заменить слово мера на метрика. И тогда текст можно счесть более-менее корректным?

-- 02.11.2016, 10:31 --

Xaositect в сообщении #1165371 писал(а):

Нет, это разные вещи. Очень грубо говоря, в $n$-мерном пространстве метрика позволяет измерять одномерные вещи, а мера - $n$-мерные. Какие-то связи меду ними могут быть в одномерном случае или в присутствии дополнительной структуры.

аааа... конечно, грубо, мера это, в том числе и площадь, и объем, и т.д., ну да, я это понимаю, что-то я в ступор вошел

[Brukvalub]

Yodine в сообщении #1165381 писал(а):

тогда текст можно счесть корректным.

Проще не переделывать этот текст (он как был бессмысленным лепетом, так им и останется), а просто написАть "хочу поболтать с яйцеголовыми о том, в чем не смыслю" "Хотим ввести метрику- и вводим, хотим ввести время - и вводим, хотим ввести инъекцию - и вводим, хотим ввести ввод - и вводим и т.п. Ну, в общем, вы поняли...

[Yodine]

Получается, мой начальный текст достаточно корректный, с учетом замечаний про семейства множеств и сигма-алгебры.

-- 02.11.2016, 10:36 --

Brukvalub в сообщении #1165384 писал(а):

Yodine в сообщении #1165381 писал(а):

тогда текст можно счесть корректным.

Проще не переделывать этот текст (он как был бессмысленным лепетом, так им и останется), а просто написАть "хочу поболтать с яйцеголовыми о том, в чем не смыслю" "Хотим ввести метрику- и вводим, хотим ввести время - и вводим, хотим ввести инъекцию - и вводим, хотим ввести ввод - и вводим и т.п. Ну, в общем, вы поняли...

Смешно
Немного смыслю. Вопрос в том, как корректно ввести определение времени. Моя мысль следующая, расстояние мы умеем вводить, аналогично вводим понятие времени.

[Brukvalub]

Brukvalub в сообщении #1165388 писал(а):

Получается, мой начальный текст достаточно корректный, с учетом замечаний про семейства множеств и сигма-алгебры.

Нет, получается, что вы путаете Гоголя с Гегелем,Гегеля с Бебелем,Бебеля с Бабелем,Бабеля с кабелем,кабеля с кобелем,кобеля с хахалем,хахаля с хохолем,хохоля с Гоголем...
Время не нужно заново "вводить", нужно разобраться с тем временем, которое уже ввели до вас.

[Xaositect]

Ну собственно, Вы в этом сообщении не сказали ничего, кроме того, что расстояние и время - это функции "с определенными свойствами" на каких-то множествах. Оно, может, и верно, но как-то малоосмысленно. Понятно, что в матмодели у нас все, что от чего-то зависит - это функция. С какими-то свойствами.

[Yodine]

Brukvalub в сообщении #1165384 писал(а):

Хотим ввести метрику- и вводим, хотим ввести время - и вводим

Вы совершенно точно передали мою мысль. Так определения, понятия и вводятся, не так ли

[Someone]

И ещё нужно понимать, что интервал, который в СТО вводится вместо расстояний и промежутков времени, не является метрикой в том смысле, в каком термин "метрика" употребляется в функциональном анализе или топологии. Поэтому даже после замены слова "мера" словом "метрика" мы мало чего полезного получим.

Yodine в сообщении #1165385 писал(а):

Получается, мой начальный текст достаточно корректный, с учетом замечаний про семейства множеств и сигма-алгебры.

Ну-ну… Конечно, если взять любую чушь, и позаменять там всякие слова, то можно что-нибудь осмысленное получить. Но это не означает, что Ваш первоначальный текст был сколько-нибудь осмысленным.

P.S. А вот вероятность — это действительно мера.

[Yodine]

Xaositect в сообщении #1165389 писал(а):

Ну собственно, Вы в этом сообщении не сказали ничего, кроме того, что расстояние и время - это функции "с определенными свойствами" на каких-то множествах.

Это дает ответ на вопрос о различии расстояния, длины и времени, позволяет отличать температуру от времени.
В чем различие? Мой ответ функции иные и на разных множествах определены. Даже если вид функций одинаков, но множества, на которых определены функции, разные и с разными свойствами. Соответственно, появляется механизм различения линейки и термометра, и часов, какой бы конкретный механизм они бы не представляли.

-- 02.11.2016, 10:57 --

Someone в сообщении #1165392 писал(а):

И ещё нужно понимать, что интервал, который в СТО вводится вместо расстояний и промежутков времени, не является метрикой в том смысле, в каком термин "метрика" употребляется в функциональном анализе или топологии. Поэтому даже после замены слова "мера" словом "метрика" мы мало чего полезного получим.

я про интервал вообще ничего не говорил.

-- 02.11.2016, 11:06 --

Про время. Коль скоро, время это некая метрика на некотором множестве, то в зависимости от того, как мы это множество зададим и как введем метрику, то и будем получать разные модели времени, разные модели измерения.
Вроде правильно?

[Someone]

Yodine в сообщении #1165398 писал(а):

я про интервал вообще ничего не говорил.

Но в СТО интервал используется вместо расстояний и промежутков времени. Просто потому, что интервал является инвариантной величиной, которая одна и та же во всех системах отсчёта, а вот расстояния и промежутки времени в разных системах отсчёта различаются, и потому сами по себе не очень полезны.

Yodine в сообщении #1165398 писал(а):

Это дает ответ на вопрос о различии расстояния, длины и времени, позволяет отличать температуру от времени.
В чем различие? Мой ответ функции иные и на разных множествах определены.

Никакого ответа это не даёт. Мы можем взять точку на поверхности Земли и определить в ней три величины: высоту над уровнем моря, атмосферное давление и температуру воздуха. Все три величины будут какими-то функциями, определёнными на множестве точек поверхности Земли. И какое различие Вы хотите увидеть, зная только то, что и первое, и второе, и третье — это какие-то функции?

Я понимаю, что Вы хотите придумать какой-то полезный смысл своим словам, но я не вижу ничего не банального.

[Yodine]

Someone в сообщении #1165402 писал(а):

Yodine в сообщении #1165398 писал(а):

Это дает ответ на вопрос о различии расстояния, длины и времени, позволяет отличать температуру от времени.
В чем различие? Мой ответ функции иные и на разных множествах определены.

Никакого ответа это не даёт. Мы можем взять точку на поверхности Земли и определить в ней три величины: высоту над уровнем моря, атмосферное давление и температуру воздуха. Все три величины будут какими-то функциями, определёнными на множестве точек поверхности Земли. И какое различие Вы хотите увидеть, зная только то, что и первое, и второе, и третье — это какие-то функции?

Нужно дополнительно знать как было задано множество на котором были определены эти функции. Без этого никак. Нужно знать вид функции и несущее множество, метрическое пространство это пара.

-- 02.11.2016, 11:25 --

Someone в сообщении #1165402 писал(а):

Я понимаю, что Вы хотите придумать какой-то полезный смысл своим словам, но я не вижу ничего не банального.

Я вижу пользу в осознании того, что чтобы дать определение времени, нужно задать метрическое пространство, то есть указать несущее множество и метрику на нем. Это и следует считать определением времени, нижайшее imho. Опять я не прав?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Даже интересно стало, скоро ли модераторы пресекут это издевательство над здравым смыслом?