2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Специальный вид простого числа
Сообщение28.10.2016, 09:40 


24/12/13
351
Докажите, что если простое число $p\equiv -1\pmod 7$ , то существует целое число $n$, такое , что число $n^3+n^2-2n-1$ делится на $p$.

-- 28.10.2016, 12:44 --

Не могу понять откуда вышло выражение $n^3+n^2-2n-1$,
Эту задачу давали школьникам по олимпиаде, так что хотелось бы увидеть более элементарные решения и попытки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальный вид простого числа
Сообщение28.10.2016, 22:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Для нешкольников:
Основные идеи написаны были здесь: topic97524.html
nnosipov в сообщении #1018969 писал(а):
Можно взять любой нормированный неприводимый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, имеющий корень в поле $\mathbb{Q}(\zeta+\zeta^{-1})$, где $\zeta^7=1$. Сравнение $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ имеет решения тогда и только тогда, когда $p \equiv \pm 1 \pmod{7}$ или $p=7$.
К сожалению, в полном объеме мне эта идея неподвластна :-(

rightways в сообщении #1163705 писал(а):
Не могу понять откуда вышло выражение $n^3+n^2-2n-1$,
Возьмем уравнение $t^7=1$ и начнем его решать возвратным методом Эйлера:
$t^{3}+t^2+t+1+t^{-1}+t^{-2}+t^{-3}=0$
Подстановка $x=t+t^{-1}$ приводит нас к уравнению $x^3+x^2-2x-1=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальный вид простого числа
Сообщение29.10.2016, 21:43 


24/12/13
351
Для $p=7k+1$ доказать можно, но для $7k-1$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальный вид простого числа
Сообщение31.10.2016, 04:55 


21/05/16
4292
Аделаида
Sonic86 в сообщении #1163936 писал(а):
возвратным методом Эйлера

А что это такое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальный вид простого числа
Сообщение31.10.2016, 14:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(kotenok gav)

kotenok gav в сообщении #1164628 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1163936 писал(а):
возвратным методом Эйлера

А что это такое?
Имеется ввиду способ решения уравнений вида $ax^{2n}+bx^{2n-1}+cx^{2n-2}+...+cx^2+bx+a=0$ - надо поделить на $x^n$ и делать замену $t=x+x^{-1}$ - так степень уравнения понижается в 2 раза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальный вид простого числа
Сообщение31.10.2016, 14:43 


21/05/16
4292
Аделаида
Sonic86
Спасибо!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group