Остатки от деления

[kokes]

Здравствуйте, можно ли найти значение этого выражения $12:5 + 19:6$ не используя дробей?
То есть
1) $12:5 = 2(2)$
2) $19:6 = 3(1)$
3) $2(2) + 3(1)$ = ?
В скобках находятся остатки от деления. Можно ли сложить эти остатки? если нет(да), то почему?

[Xaositect]

Нет. Потому что это остатки от деления на разные числа.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[kokes]

Xaositect в сообщении #1164099 писал(а):

Нет. Потому что это остатки от деления на разные числа.

Тогда можно ли найти значение этого выражения не используя дробей?

[Xaositect]

kokes в сообщении #1164110 писал(а):

Тогда можно ли найти значение этого выражения не используя дробей?

Нет. Как минимум потому, что значение этого выражения - это дробь.

[gris]

Может быть имелись в виду такие действия:
$12:5+19:6=72:30+95:30=167:30=5(17)$

[arseniiv]

Ну, это фактически обращение к дробям, как по-моему.

[kokes]

Спасибо за ответы. Вопрос следующий: исходя из выражения в первом сообщении, если я все таки сложу $2(2) + 3(1) = 5(3)$, будет ли иметь смысл сложение этих остатков, их как-то можно интерпретировать?
И почему остатки от деления разных чисел нельзя складывать, а неполное частное от деление на разные числа складывать можно?
Как описать на мат.языке, что остатки от деления разных чисел нельзя складывать?

[gris]

Нет правил для действий с выражениями вида $2(2)$. Это выражение имеет смысл только в равенстве вида $12:5=2(2)$. Отдельно оно не имеет смысла. Однако, можно записать это равенство в виде $12:5=2+2:5$, а второе равенство как $19:6=3+1:6$. Тогда
$12:5+19:6=(10+2):5+(18+1):6=$
$=2+2:5+3+1:6=(2+3)+(2:5+1:6)$
Вот теперь мы можем сложить в первой скобке целые части. А вторую скобку без ухищрений типа приведения к общему делителю ну никак не посчитать. Да и то, если перед этим в курсе арифметики описаны правила действий в выражениями $n:m$. С дробями, право, меньше мороки.

[arseniiv]

Или, другими словами, если брать произвольные делимые, то возможные значения остатка зависят от делителя $b$ — это $0,1,\ldots,b-1$, а с частными такого нет.

kokes в сообщении #1164182 писал(а):

Как описать на мат.языке, что остатки от деления разных чисел нельзя складывать?

Скорее, пришлось бы описывать, что их можно складывать, если бы их можно было бы складывать. Операции не распространяются за пределы области определения волшебным образом, это всегда делается явно. Вот, например, остатки от деления на одно и то же число складывать можно — но и то не просто так: деление 3 на 5 даст остаток 3, и деление 9 на 5 даст остаток 4, но деление $3+9=12$ даст остаток 2, а не 7. Чтобы получить 2, надо снова взять остаток от деления вылезшего за границу 7 на 5. Иначе говоря, $(a+b)\bmod c = (a\bmod c+b\bmod c)\bmod c$, где $a\bmod c$ — остаток от деления $a$ на $c$. (Иногда это обозначается ещё $\operatorname{rem}(a,c)$, хотя чаще дело вообще имеют не с остатками, а с эквивалентностью по модулю, которую тут обсуждать, наверное, не будем.) Вычитать и умножать таким способом тоже можно:

$$4 = 204\bmod10 = (12\cdot17)\bmod 10 = ((12\bmod10)\cdot(17\bmod10))\bmod 10 = (2\cdot7)\bmod10 = 14\bmod10 = 4,$$

а вот делить не советую. Всё это можно доказать, исходя из определения остатка.