Сумма примитивных корней степени 15 из 1

[student1138]

Здравствуйте.
Вроде бы простая задачка, но не могу решить: чему будет равна сумма примитивных корней степени 15 из единицы (в поле $\mathbb{C}$).

Ранее доказал что сумма всех корней из единицы равна 0 (с помощью формулы суммы членов геом.прогрессии)
А так же что сумма примитивных корней из 12 тоже равна 0 (т.к. там все симметрично).

А вот с 15 не получается. Пробовал через формулы суммы синусов, косинусов, но как-то там не схлопывается все красиво. Еще среди всех примитивных корней (степени 15) есть две маленьгих геом.прогрессии: 8, 11, 14 и 1, 7, 13. Пробовал опять через формулу суммы членов геом.прогрессии, но опять какое-то большое некрасивое выражение получилось.

[Lia]

А какие корни пятнадцатой степени - примитивные?

[arseniiv]

Скорее, какие не примитивные.

[student1138]

Lia в сообщении #1163876 писал(а):

А какие корни пятнадцатой степени - примитивные?

Насколько я понимаю это степени $\varepsilon_1$ взаимно простые с 15 ($\varepsilon_1$ - это самый первый из корней). Т.е. следующие степени: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

[Lia]

Ну, или выводы делайте, или на вопрос arseniiv смотрите. :) Порисовать можно. А можно и не рисовать, и так хорошо.

[student1138]

Lia в сообщении #1163893 писал(а):

Ну, или выводы делайте, или на вопрос arseniiv смотрите. :) Порисовать можно. А можно и не рисовать, и так хорошо.

Да собственно я пытался, свои попытки написал в первом сообщении. Рисовать тоже рисовал. Список не примитивных корней тоже ни на какие мысли не наводит пока.

[Lia]

А меж тем, даже само описание должно наводить.

student1138 в сообщении #1163890 писал(а):

взаимно простые с 15

То есть какие? Какими должны быть те, которые не эти?

[student1138]

Lia в сообщении #1163905 писал(а):

А меж тем, даже само описание должно наводить.

student1138 в сообщении #1163890 писал(а):

взаимно простые с 15

То есть какие? Какими должны быть те, которые не эти?

Кое-какие подвижки появились но боюсь это не то.
Итак, не примитивные корни это следующие степени:
3, 5, 6, 9, 10, 12

Видно что в этой последовательности 2 геометрические прогрессии:
3, 6, 9, 12 и 5, 10.
Если применить формулу суммы членов геом.прогрессии к первой и второй прогрессиям получим:
Сумма первой прогрессии: $\frac{\varepsilon^3(1-(\varepsilon^3)^4)}{1-\varepsilon^3} = \frac{\varepsilon^3}{1-\varepsilon^3}$
Сумма второй прогресии: $\frac{\varepsilon^5(1-(\varepsilon^5)^2)}{1-\varepsilon^5} = \frac{\varepsilon^5}{1-\varepsilon^5}$

Складываем обе суммы, получаем сумму не примитивных корней: $\frac{\varepsilon^3 + \varepsilon^5}{(1-\varepsilon^3)(1-\varepsilon^5)}$
Соответственно сумма примитивных корней будет равна $-\frac{\varepsilon^3 + \varepsilon^5}{(1-\varepsilon^3)(1-\varepsilon^5)}=\frac{\varepsilon^3 + \varepsilon^5}{1-(\varepsilon^3 + \varepsilon^5)}$
Но подозреваю что это все-равно что-то не то.

[Someone]

student1138 в сообщении #1163872 писал(а):

Пробовал через формулы суммы синусов, косинусов, но как-то там не схлопывается все красиво.

Ну, мнимая часть суммы имеет очевидное значение, а действительная часть суммы сводится к сумме восьми косинусов. Среди них $4$ пары одинаковых, поэтому остаётся $4$ слагаемых. Если их удачно попарно сгруппировать, то всё "схлопывается". Но не в ноль.

[arseniiv]

student1138 в сообщении #1163918 писал(а):

Итак, не примитивные корни это следующие степени:
3, 5, 6, 9, 10, 12

Видно что в этой последовательности 2 геометрические прогрессии:
3, 6, 9, 12 и 5, 10.

Что ж вы сразу всё в прогрессии переводите? (К тому же, вы забыли нулевую степень.) Вот у вас степени 0, 3, 6, 9, 12, и вот у вас степени 0, 5, 10 — какие у них суммы?

[student1138]

arseniiv в сообщении #1163921 писал(а):

student1138 в сообщении #1163918 писал(а):

Итак, не примитивные корни это следующие степени:
3, 5, 6, 9, 10, 12

Видно что в этой последовательности 2 геометрические прогрессии:
3, 6, 9, 12 и 5, 10.

Что ж вы сразу всё в прогрессии переводите? (К тому же, вы забыли нулевую степень.) Вот у вас степени 0, 3, 6, 9, 12, и вот у вас степени 0, 5, 10 — какие у них суммы?

Точно, 0 забыл. Теперь вроде прояснилось: приведенные выше последовательности - это корни 5й и 3й степени из единицы. Их суммы равна нулю, а значит сумма примитивных корней из единицы степени 15 тоже равна 0, правильно?

[arseniiv]

Нет. Посчитайте, сколько раз что вы вычли.

[student1138]

arseniiv в сообщении #1163924 писал(а):

Нет. Посчитайте, сколько раз что вы вычли.

Опять проглядел, там же 0 два раза встречается. Если это исправить сумма примитивных равна $\varepsilon^0=1$. Теперь хоть правильно?

[arseniiv]

Теперь да. $0-0-0+1 = 1$, где уж тут ошибиться.

[Sonic86]

student1138 в сообщении #1163872 писал(а):

чему будет равна сумма примитивных корней степени 15 из единицы (в поле $\mathbb{C}$).

Ранее доказал что сумма всех корней из единицы равна 0 (с помощью формулы суммы членов геом.прогрессии)

Считается через формулу включений-исключений, например.