Определения производной и их эквивалентность.

[Otta]

Duelist
С тем определением предела, которое у Львовского, в Вашем случае жить тоже хорошо: композиция непрерывных всегда непрерывна. Можно только это и помнить. :) (Странно, у него я почему-то это не вижу, ни в задачах, нигде. Доказывать этот факт гораздо удобнее в общем случае, на мой взгляд.) А что доопределяются функции одним и тем же значением, легко видеть.

Но вообще Вы так от земли отрываетесь, кмк.

[ewert]

Duelist в сообщении #1162318 писал(а):

Я и имел в виду "другое" определение предела.

А зачем?... Зачем Вы именно его поимели (в виду)?!

Ведь Львовский заранее предупреждал: он рассчитывает на слушателей, которые знакомы со школьной теорией пределов. Причём знакомых в её несколько продвинутом варианте. Поэтому он и не разжёвывает особо так её связь с общетопологическими определениями. Его задача (как я понял его понимание) -- немного расшевелить мозги; которые, по предположению, заведомо есть.

И уж тем более он не пытается приплесть общетопологические соображения (которые тут вовсе не при чём) к производным функции одной переменной. Он лишь дополняет багаж уже известных знаний всякими Тейлорами и прочим. Апеллируя исключительно к тому, что у слушателей уже было и до него.

А Вы вот зачем-то попытались. Это и вызывает некоторое недоумение.

[Duelist]

ewert в сообщении #1162363 писал(а):

Ведь Львовский заранее предупреждал: он рассчитывает на слушателей, которые знакомы со школьной теорией пределов. Причём знакомых в её несколько продвинутом варианте. Поэтому он и не разжёвывает особо так её связь с общетопологическими определениями.

Эта связь очевидна: стандартная топология на $\mathbb{R}$ задаётся стандартной метрикой на $\mathbb{R}$. Ясно, что открытыми шарами с ценрами в точках будут $\varepsilon-$окрестности этих точек. Отсюда всё и проистекает.
Общетопологических соображений я приплести не хотел. Там ничего топологического написано не было (кроме слова "гомеоморфизм", но это ни на что не влияет). Просто то определение предела привычно, использовалось оно всё равно в частном, а не в каком-то общем топологическом контексте.