Упростить произведение синусов

[remok]

Как упростить произведение синусов
$ \sin(84^{\circ}) \sin(48^{\circ}) \sin(24^{\circ}) \sin(12^{\circ}) $
?
Пробовал множители попарно преобразовывать в разность косинусов, но ни к чему не пришёл.
Заранее спасибо !

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Обратите внимание на то, что аргументы трёх последних синусов последовательно удваиваются (с конца), а вот первый синус эту закономерность нарушает. Значит, надо попробовать что-нибудь именно с ним сделать.

[gris]

А я не нашёл быстрого красивого решения Вроде бы из-за удвоения углов всё должно сворачиваться, но это работает с косинусами. Тут можно и через два попарных произведения. Там вылезают два угла, для которых косинусы имеют хороший вид (опять таки кто знает) и всё получается. Но это как-то не красиво. Наверное, манипуляция с формулами приведения должна помочь, но на раз-два не получается. Вотъ.

[ИСН]

Тот тоже последовательно удваивается, если посмотреть с другой стороны. А толку-то? Это произведение косинусов так можно упростить. Если $16x$ - это то же самое, что $x$, только наоборот, то

$$\begin{align}\sin x\sin2x\sin4x\sin8x\cdot\cos x\cos2x\cos4x\cos8x={1\over16}\sin 2x\sin4x\sin8x\sin16x=\\ =-{1\over16}\sin 2x\sin4x\sin8x\sin x\end{align}$$

поэтому $\cos x\cos2x\cos4x\cos8x=-{1\over16}$. А с синусами-то как?

-- менее минуты назад --

Чему оно равно, я вижу. Но как?

[wrest]

Вся история довольно быстро сводится к вычислению $\cos(36^\circ)-\sin(18^\circ)$ или аналогичного $\cos(36^\circ)-\cos(72^\circ)$, в чем, по-видимому, и заключается вся сложность задачи как правильно заметил тов. gris, эти косинусы надо откуда-то знать.

[matidiot]

Это сводится к $\frac{1}{4}{(\sin{30}^o+\sin{18}^o)}{(\cos{36}^o-\cos{60}^o)}=\frac{1}{4}{(\frac{\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{4})}{(\frac{\sqrt{5}}{4}-\frac{1}{4})}=\frac{1}{16}$

[gris]

ТС предложил верный путь, надо было только угадать пару. Косинусы тридцати шести и семидесяти двух градусов многим знакомы в связи с правильным пятиугольником, золотым сечением и числами Фибоначчи. Для "олимпиадного" школьника это входит в обязательный набор. Но тут хочется чего-то лёгкого. После приведения первого угла к девяносто шести сумма четырёх углов становится равной ста восьмидесяти. Ну вот как-то ждёшь чуда

[remok]

Спасибо всем !
А то я думаю, ничего себе задачки для школьников.