Положительная определенность матрицы

[prof.uskov]

Дана матрица $A$ имеющая полный ранг.
Почему матрица $B=A^TA$ положительно определена?
Как называется такое разложение матрицы $B$?

Попытка решения: критерием положительной определенности матрицы являются либо положительность всех собственных значений, либо критерий Сильвестра - положительность главных миноров.
Даже для матрицы размерности 2 расписав поэлементно не удается получить выполнения критериев.

[Brukvalub]

Потому, что в привычном скалярном произведении матрица $B$ - матрица Грама столбцов невырожденной квадратной матрицы $A$, которые образуют базис в соответствующем арифметическом пространстве.

[Joe Black]

называется разложение Холеского

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%86%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE

[Brukvalub]

Joe Black в сообщении #1160962 писал(а):

называется разложение Холеского

Вот только треугольности не хватает, а так все хорошо.

[kp9r4d]

$(A^* A x, x) = (A x, A x) > 0$

[Joe Black]

Brukvalub в сообщении #1160963 писал(а):

Joe Black в сообщении #1160962 писал(а):

называется разложение Холеского

Вот только треугольности не хватает, а так все хорошо.

Дамс, промахнулся)

[prof.uskov]

Brukvalub в сообщении #1160961 писал(а):

Потому, что в привычном скалярном произведении матрица $B$ - матрица Грама столбцов невырожденной квадратной матрицы $A$, которые образуют базис в соответствующем арифметическом пространстве.

А как-нибудь более понятно можно это сформулировать?

-- 19.10.2016, 00:48 --

kp9r4d в сообщении #1160965 писал(а):

$(A^* A x, x) = (A x, A x) > 0$

Это известные соотношения. Элементы матрицы $A$ могут быть и отрицательными числами, все равно не вижу откуда следует положительность квадратичной формы.

[Brukvalub]

prof.uskov в сообщении #1160969 писал(а):

А как-нибудь более понятно можно это сформулировать?

Ну, ниже kp9r4d написал, что матрица сопряженного оператора в ортонормированном базисе евклидова векторного пространства получается транспонированием матрицы исходного оператора, а, раз оператор невырожден, то скалярный квадрат действия такого оператора на любой ненулевой вектор - положителен, тем самым, матрица B является матрицей положительного оператора.
И это является стандартным наблюдением при рассмотрении положительных операторов.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.