равномерная сходимость функционального ряда

[agapov]

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{nx^2}{1+n^3x^3}$. Кроме точки $x=-n$ и ее окрестности, этот ряд сходится равномерно (к нулю?) ? Необходимое условие равномерной сходимости выполняется. Дальше нахожу модуль разности $e_n=|f_n(x)-f(x)|$. Строю график этой функции и получается экстремум в точке $x=\sqrt[3]{2}$. В этой точке член ряда $f(n)=\frac{2^{2/3}}{3n}$. Замажорировать не могу этим рядом - он гармонический. Находить явное выражение для суммы ряда - сложно... Признак Дирихле-Абеля не идет. Может быть, ряд расходится - как доказать?

[mihaild]

agapov в сообщении #1160180 писал(а):

Кроме точки x=-n и ее окрестности, этот ряд сходится равномерно (к нулю?)

Никакой "точки $x = -n$ нет, $n$ - это индекс суммирования; сходимость к нулю тут довольно маловероятна.
Попробуйте для начала найти, при каких $x$ этот ряд вообще сходится.

А что такое у вас $f(x)$?

[provincialka]

agapov, а как формулируется задача? На каком промежутке надо проверить равномерную сходимость?

-- 16.10.2016, 09:36 --

agapov в сообщении #1160180 писал(а):

Кроме точки $x=-n$ и ее окрестности, этот ряд сходится

Вы, наверное, имели в виду $x=-1/n$ для некоторого $n$. А окрестность чем плоха? Откуда в ней проблемы?

[agapov]

Полностью задача формулируется так: Исследуйте ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{nx^2}{1+n^3x^3}$ на равномерную сходимость при $x\in \mathbb{R} $. При этом я понимаю, что если "попадется" точка $x=-1/n$, то сходимости вообще не будет. Поэтому в окрестности точки $x=-1/n$, сходимость будет неравномерная (то есть сходимость ко все возрастающему "бесконечному" числу"). А вот что относительно точки $x=0$ ? Не могу пока понять. Будет при этом равномерная сходимость на интервале $(0,\infty)$ ?

[Otta]

agapov в сообщении #1160221 писал(а):

Исследуйте ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{nx^2}{1+n^3x^3}$ на равномерную сходимость при $x\in R$.

Жулики они у вас. Ряд определен не на всей прямой, а им равномерную сходимость исследуй.

agapov в сообщении #1160221 писал(а):

А вот что относительно точки x=0 ? Не могу пока понять. Будет при этом равномерная сходимость на интервале $(0,\infty)$ ?

Произвольно множества не заменяются. Если нужно смотреть на указанном, значит, нужно.

Про другой интервал - это уже другая задача.

[agapov]

А на интервале $[0,\infty]$ будет равномерная сходимость ? Кстати, может в этом и прикол задачи, что на всем множестве нет равномерной сходимости, и на подинтервалах смотреть не нужно? Но точка $x=0$ все равно интересная... В ней сумма ряда равна 0, а в окрестности при $x\to0$ сумму ряда найти трудно...

[DeBill]

agapov в сообщении #1160180 писал(а):

этот ряд сходится равномерно (к нулю?)

Видимо, Вы имеете в виду "общий член ряда сходится равномерно к нулю". И дальнейшая оценка Ваша это фактически доказывает.
В формулировке задачи отсутствует (на что и указала provincialka
) область, на которой следует исследовать наш ряд на равномерную сходимость. Традиционно, такую задачу предлагают в двух вариантах : а) на области $x>a, $ где $a$ - положительно б) на области $x>0$.
Для а) работает мажорантный признак (обратите внимание: Ваши точки, в которых - максимум - при больших $n$ не попадают в область).
А вот с б) придется попотеть. Видимо, тут нет равномерной сходимости, и доказывать это придется по критерию Коши. Вспомните, как доказывается расходимость гармонического ряда, а также - где у Вас там максимум вылез....

(Оффтоп)

Конкретно, в Критерии будут буковки $\varepsilon, N, x,n, p$. Попробуйте с ними обходиться так , типа: $\varepsilon = 0.01, N$ - какое-то, $n=N+1, p=n, x= \frac{1}{n}$. Может, что и получится...

[Lia]

agapov
Формулы оформляются не только в стартовом сообщении. Правьте. У Вас 50 минут.

[DeBill]

Помимо Кр.Коши, есть еще один прием док-ва неравномерности сходимости (кстати, в Вашем стартовом посте есть еще один ляп: отрицание равномерной сходимости не есть расходимость...).
Состоит в следующем: если члены ряда непрерывны на отрезке, а сумма - нет, то равномерной сх-ти нет. Или: если сумма не ограничена на интервале, а слагаемые - ограничены, то - нет р-й сх-ти.
Так что можно попробовать доказать неограниченность частичных сумм вблизи нуля...(не намного легше чем с Кр.Коши)

[Otta]

agapov в сообщении #1160235 писал(а):

А на интервале [0,oo) будет равномерная сходимость ?

Еще раз. Вам нужно исследовать на равномерную сходимость на $\mathbb R$ или на $[0,\+\infty)$?
Это разные задачи. Разные множества - разные задачи.
К Вашему вопросу: из неравномерной сходимости на более широком множестве (которую тоже надо, вообще говоря, доказывать) не следует неравномерная сходимость на более узком.

Множество уточните.

[ewert]

DeBill в сообщении #1160239 писал(а):

можно попробовать доказать неограниченность частичных сумм вблизи нуля...(не намного легше чем с Кр.Коши)

Доказать -- намного сложнее (бесконечно сложнее), т.к. в окрестности нуля полная сумма -- интегральная для соотв. несобственного интеграла и, следовательно, стремится к конечному числу при $x\to0$.

Другое дело, что именно ввиду интегральности этой суммы её предельное значение устанавливается всё позже и позже. От этого и стоит плясать.

[agapov]

Вот полное условие задачи. "Исследуйте ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{nx^2}{1+n^3x^3}$ на равномерную сходимость при $x\in \mathbb{R}$. (Для доказательства отсутствия равномерной сходимости воспользуйтесь критерием Коши).

[ewert]

agapov в сообщении #1160248 писал(а):

при $x\in R$.

Otta в сообщении #1160225 писал(а):

Жулики они у вас.

Впрочем, нельзя сказать, чтобы формулировка вообще не имела смысла. Она всего лишь разгильдяйская. Следовало сказать: "на всей области определения ряда".

Надеюсь, вне окрестности нуля всё ясно? Если на положительной части, то там тупо мажорантный признак, а никакой не Коши. (ну, можно, конечно, передоказать мажорантный на конкретно этом примере: эх, раз, да ещё раз, да ещё много-много раз...)

В отрицательной области чуть сложнее, но не намного: при отделённости от нуля неприятности возникают лишь у нескольких начальных членов, однако за равномерность сходимости отвечают хвосты ряда.

[DeBill]

ewert
Нда, и правда, предел - конечный (блин, $\frac{\pi}{2\sqrt{3}}$). Так что остается только критерий Коши....

-- 16.10.2016, 17:09 --

DeBill в сообщении #1160236 писал(а):

Для а) работает мажорантный признак

-- 16.10.2016, 17:10 --

ewert в сообщении #1160264 писал(а):

на положительной части, то там тупо мажорантный признак,

[ewert]

DeBill в сообщении #1160267 писал(а):

блин, $\frac{\pi}{2\sqrt{3}}$

У меня получилось $\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$. Правда, считал наспех и на очень маленьком клочке, но у Вас уж явно слишком мало.