Двумерный Навье-Стокса: как правильно поставить задачу?

[sup]

Стандартные краевые условия - так называемые условия прилипания. Жидкость к стенке прилипает. Значит на трех стенках скорость нулевая, а на подвижной стенке скорость жидкости равна скорости стенки. Такие условия уже приводят к некоторым проблемам с гладкостью решения. В двух угловых точках возникают разрывы. Но это еще не все. В книге Лаврентьев, Шабат "Проблемы гидродинамики ..." обсуждается родственная задача обтекания канавы. Так вот. В стационарной задаче внутри канавы может возникнуть несколько вихрей (в зависимости от размеров канавы). Так что теоретически возможна неединственность решения. А этот факт, в свою очередь, может влиять и на решение динамической задачи. Например, предельное стационарное течение может зависеть от начальных данных.

[Red_Herring]

Не совсем понятно, как условие несжимаемости и отсутствие свободной границы (жидкость заполняет всю полость) согласуются с переменным объемом этой полости

[sup]

Как я понял, задача выглядит так. Канава прямоугольного сечения. Сверху крышка. Крышка двигается с некой скоростью. В канаве возникает вихревое движение. Объем не меняется.
В сущности, это и есть некоторая модель "свободного" обтекания канавы потоком.
Но может я чего-то упустил?

[Red_Herring]

Понял: крыша едет не вверх, а вдоль канавы. В любом случае разрывы на двух верхних углах там и сидят, а не распространяются как у гиперболических уравнений.

[sup]

Тут надо иметь в виду, что гладкого решения у задачи не будет. И даже стандартной оценки типа
$u \in L_{\infty}(0,T;L_2(D)) \cap L_2(0,T; W_2^1(D))$
не просматривается.
В решении будет присутствовать "негладкая" составляющая. Может от нее стоит сразу избавиться ...
Для этого решаем стационарную задачу. Получим ту самую "негладкую" составляющую. И из искомого решения эту штуку и вычитаем.

[DLL]

Так уравнения же нелинейные - как это мы там что-то вычитаем?

[sup]

Ну как вычитаем ... Как обычно. Пусть $U(x)$ - решение стационарного уравнения. Полагаем

$$u = U + v$$

Тогда
$v_t - \Delta v + \sum ((v_i +U_i)\partial_iv + v_i\partial_iU) + \nabla p = f $
$v|_{\partial D} = 0$
$v|_{t=0} = u_0 - U$

Ну да. Теперь там есть некие добавки. Но, как мне кажется, решать такую задачу проще, чем исходную с разрывными гран. условиями.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1158722 писал(а):

Утундрий прав. Следует помнить что $p$ определяется с точностью до константы.

Red_Herring, я правильно понимаю, что функция давления $p(x,y,z,t)$ не задается сразу вся, а определяется в процессе решения? И если так, то тогда она будет известна с точностью до произвольной постоянной, это неустранимый недостаток уравнения Навье-Стокса?

[Утундрий]

Sicker в сообщении #1159669 писал(а):

неустранимый недостаток уравнения Навье-Стокса

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1159671 писал(а):

Sicker в сообщении #1159669 писал(а):

неустранимый недостаток уравнения Навье-Стокса

Я бы не стал смеяться над этим вопросом, поскольку все это несколько контр-интуитивно. Вот Вы погрузились в океан и Вас плющит именно давление, а не его градиент.

Sicker, это все "недостаток" не УНС, а рассматриваемой краевой задачи: отсутствие свободной границы, абсолютно твердые стенки (была бы хотя бы одна упругая, то там бы в условие входило бы и непосредственно давление, а не градиент, но сама стенка находилась бы в процессе решения.

Впрочем, что касается УНС, то в него давление непосредственно не входит из-за предположения несжимаемости (ср. с аэродинамикой).

[Sicker]

Red_Herring
А если у нас не краевая задача? Стенок нет.

Red_Herring в сообщении #1159676 писал(а):

ср. с аэродинамикой

Я ее тоже не знаю.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1159681 писал(а):

А если у нас не краевая задача? Стенок нет.

Упругих стенок нет, свободной поверхности нет, Вы внутри тоже не плаваете (а иначе Ваша кожа была бы упругой стенкой), так какая Вам разница?

Sicker в сообщении #1159681 писал(а):

Я ее тоже не знаю.

Нашли чем гордиться!
Так посмотрите уравнения, по крайней мере то, где давление функция от плотности (и м.б. температуры), ну и каким будет уравнение неразрывности.

[Sicker]

Red_Herring
А вот если у нас одномерная задача, то тогда функция Грина для оператора Лапласа неоднозначна(без учета неоднозначности на константу), и получается мы должны дополнительно наложить условие антисимметричности для грандиента давления? $\frac{d}{dx} p(-\infty)=-\frac{d}{dx}p(\infty)=\frac{\text{суммарные источники}}{2}$

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1159693 писал(а):

А вот если у нас одномерная задача

Размерность 1 это ерунда, 2 наиболее пакостна из-за логарифмического потенциала

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1159695 писал(а):

Размерность 1 это ерунда, 2 наиболее пакостна из-за логарифмического потенциала

Это да, но нам же нужен не потенциал, а его градиент)

-- 14.10.2016, 13:44 --

А чем логарифмический потенциал а 2-х мерии хуже линейного в одномерии? Он же тоже ведь в бесконечность уходит.