Дифур

[maxmatem]

Добрый день.

В ходе исследований появился следующий дифур.

$$((a+1)xy-abx)dy=(1-x^2+ay^2-aby)dx$$

где $a,b \in \mathbb{R}$.

Я хочу понять при каких $a,b$ решение данного дифура будут выражаться в элементарных функциях.

Я сначала нашел условия при которых данное уравнение будет уравнением в полных дифференциалах, и оказалось что при $a=1$ и любом $b$. А ответ можно дать в элементарных функциях.

А вот дальше пока идей нет.....

[maxmatem]

Кстати посоветуйте софт который адекватно решает дифуры такого типа как у меня.

[Vince Diesel]

Для $a=0$ параметр $b$ пропадает и решение выражается в элементарных функциях (а также при $b=0$). Математика и Мэйпл хорошо решают ОДУ, но для данного примера в общем виде ответ не считают.

[maxmatem]

Спасибо за ответ. Скажите пожалуйста, а как вообще начинать исследования такого вопроса? не уже ли надо тупо перебирать различные варианты коэффициентов?

[Vince Diesel]

Этот вопрос является обобщением проблемы нахождения первообразной в элементарных функциях и какие-то частные результаты есть. Поиск выдает, например, эту статью, где сделан обзор предыдущих результатов.

[maxmatem]

Vince Diesel
спасибо за материал.

-- Ср окт 05, 2016 21:30:56 --

Я как понимаю при беглом прочтении данной статьи , там идет речь о дифурах правая часть которых отношение полиномов. У меня не совсем то.

Так вот, мне конечно же хотелось бы решить задачу полностью ну типа при таких значениях параметров решение в элементарных.

Но я как понимаю это почти невозможно.

Я кстати посмотрел и мне кажется данный вид дифура напоминает уравнение Абеля.

[Vince Diesel]

maxmatem в сообщении #1157585 писал(а):

там идет речь о дифурах правая часть которых отношение полиномов. У меня не совсем то.

Почему же? $y'=P(x,y)$.

maxmatem в сообщении #1157585 писал(а):

Но я как понимаю это почти невозможно.

Может быть. В статье обсуждаются рациональные решения, а в элементарных функциях это более широкий класс.

[maxmatem]

Цитата:

Почему же? $y'=P(x,y)$.

Спасибо.
чего то тупанул.

Так вот , изучу статью может поможет.

А дальше попробую различные варианты коэффициентов , и на машинке посчитаю. Может какая тенденция просветится..

Если у кого то появятся мысли по этому поводу, буду рад услышать.
Заранее спасибо.

[maxmatem]

А все таки, я уверен что иногда математикам необходимо не вручную просчитывать дифуры(не численно) и достаточно много.

Есть какие нибудь профессиональные пакеты для этих целей? и на которых можно научиться за пару дней пользоваться?

кроме вышеперечисленных?

[maxmatem]

Еще раз добрый день.

Мне сказали, что данное дифференциальное уравнение является Уравнением Абеля первого рода.

$$\frac{dy}{dx}=f_{0}(x)+f_{1}(x)y+f_{2}(x)y^2+f_{3}(x)y^3$$

Это уравнение Абеля первого рода

Но у меня диффур такой

$$\frac{dy}{dx}=\frac{(a+1)xy-aby}{1-y^2+ax^2-abx}$$

Но честно, не понимаю как эти два уравнения связаны...

[Vince Diesel]

Где-то утверждается, что они связаны?

[maxmatem]

Не то чтобы прям утверждается....
Один человек указал на вид этого диффура

Так мне кажется что не Абеля уравнение это

Пускай не Абель но как аналитически такие вещи решать?

[maxmatem]

Ура более менее разобрался!!!!1

это Абель второго рода

[kotenok gav]

maxmatem в сообщении #1158482 писал(а):

Ура более менее разобрался!!!!1

это Абель второго рода

Нет.

[maxmatem]

kotenok gav
почему?

ведь абель второго рода это уравнение вида.

$(g_0(x)+g_1(x)y)y'=f_0(x)+f_1(x)y+f_2(x)y^2$


А Вы как считаете, к какому тогда виду относится данное уравнение?



Мне кажется я понял почему Вы так считаете......

Я совсем забыл здесь написать, что я ищу решения в неявном виде т.е $F(x;y)=const$
поэтому совершил замену

$$x\to y$$

$$y\to x$$