Предел произведения

[Amsirions]

Помогите, пожалуйста, найти предел

$$\lim\limits_{n \to \infty}{\prod\limits_{k=1}^{n}{\Bigr(1+\frac{2}{(k+1)(k+2)}\Bigr)}}$$

Я пока только попробовал считать предел логарифма, преобразовать к сумме и там раскладывать по тейлору. Больше ничего не пришло в голову.

$$\lim\limits_{n \to \infty}{\ln\prod\limits_{k=1}^{n}{\Bigr(1+\frac{2}{(k+1)(k+2)}\Bigr)}} = \lim\limits_{n \to \infty}{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln{\Bigr(1+\frac{2}{(k+1)(k+2)}\Bigr)}}$$

Раскладываю до первого члена по тейлору:

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2}{(k+1)(k+2)}} + \o{(1/n^2)} $$

Если все правильно до этого момента, то что делать дальше не знаю. Точнее не могу найти предел суммы этой.

Не слышал по телескопические ряды. Сейчас прочитал в википедии - не знал про название, но встречался раньше. Т.е мне нужно использовать прием с разбиением на слагаемые? А до этого рассуждения верные?

UPD: После подсказки про телескопические ряды:
Использую тождество $\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2} = \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$$\lim\limits_{n \to \infty}^{}{\Bigr( 1-\frac{2}{n+2}+\o{(1/n^2)}\Bigr)} = 1$$

Значит предел изначальный равен $\exp$? Верные ли рассуждения? Если нет, то каким путём пойти?

[Dan B-Yallay]

Amsirions в сообщении #1155181 писал(а):

Я пока только попробовал считать предел логарифма, преобразовать к сумме и там раскладывать по тейлору.

Покажите

Раз уж Вам приходится всё показывать в исходном сообщении, то я тоже добавлю здесь.
Про телескопические ряды никогда не слышали?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 28.09.2016, 22:16 --

Amsirions
Посмотрите еще раз Ваше задание, пожалуйста. Я думаю, там

$$\lim\limits_{n \to \infty}{\prod\limits_{k=1}^{n}{\Bigr(1-\frac{2}{(k+1)(k+2)}\Bigr)}}$$

все-таки.

Amsirions в сообщении #1155181 писал(а):

Если все правильно до этого момента,

Нет, неправильно. Использование формулы Тейлора в этой ситуации некорректно. Добавок к единице в аргументе логарифма в фиксированном слагаемом (например, при $k=1, 2$ и т.д.) не стремится к нулю. Соответственно, к телескопическому ряду Вы ничего не сведете.

[Amsirions]

Amsirions в сообщении #1155181 писал(а):

Если все правильно до этого момента,
Нет, неправильно. Использование формулы Тейлора в этой ситуации некорректно. Добавок к единице в аргументе логарифма в фиксированном слагаемом (например, при $k=1, 2$ и т.д.) не стремится к нулю. Соответственно, к телескопическому ряду Вы ничего не сведете.

Проверил, всё правильно. Там $+$.
Хорошо, если применение формулы Тейлора некорректно, то что можно сделать? У меня совсем нет идей в этом случае.
Посчитал на python, действительно, не пахнет там моим ответом...

[Dan B-Yallay]

Lia в сообщении #1155486 писал(а):

Соответственно, к телескопическому ряду Вы ничего не сведете.

Да, извиняюсь, что посоветовал не гляда на выкладки, а только лишь по последней формуле.