Позиционно бесконечные числа

[Alexeev_Andrey]

Введение. Причиной моего заблуждения (topic110006.html) относительно теоремы Кантора (в которую я изначально верил) была мысль, что функция $2^n$ хоть и растет быстро, но для каждого фиксированного, сколь угодно большого $n \in \mathbb N$, все же найдется $m \in \mathbb N$, такое что $m>2^n$ (1), то есть натуральные элементы со скоростью роста $2^n$ (что соответствует мощности множества всех подмножеств из n элементов) в бесконечной совокупности можно перенумеровать. Но это все же не так.

(1)этот момент, видно, не так очевиден, и не я один спотыкаюсь на нем. Поэтому докажем это строго. Для всякого $n \in \mathbb N$, чтобы было выполнено неравенство $m>2^n$, достаточно положить $m = 2^n +1$. Для конечного $n$ число $2^n+1$ в двоичной записи представляет число вида $10000…0001$, имеющее $n+1$ знак, то есть является конечным натуральным числом. Но если мы перейдем теперь перебором к бесконечности по $m$ и $n$ в неравенстве $m>2^n$, то слева мы получим счетную бесконечность, а справа континуальную. Если бы это был не так, тогда бы теорема Кантора была бы неверна. И множество подмножеств натурального ряда можно было занумеровать натуральными числами. $2^N$ - мощность множества всех подмножеств.


Позиционно бесконечные числа

Каждое (конечное) натуральное число $n$ может быть представлено в $m$-той позиционной системе счисления в виде конечной линейной комбинации: $n = \sum\limits_{i=0}^{k-1}a_i m^i $, где $a_i$ – цело число: $0 \leqslant a_i \leqslant m-1$. Тогда в m-той позиционной системе счисления оно будет иметь вид конечной последовательности цифр по разрядам.
Расширим данное определение, рассмотрев бесконечные ряды, соответствующие бесконечному набору цифр в позиционной записи, записывая их слева направо, определив позиционно бесконечные числа $p$, как $p = \sum\limits_{i=0}^{\infty}a_i m^i $, где $a_i$ – цело число: $0 \leqslant a_i \leqslant m-1$. И назовем их $p$-числа (position numbers), что представляют собой аналог $m$-адических чисел, где $m$ – любое натуральное число, большее 1.
Сложение и умножением для $p$-чисел зададим как обычное сложение и умножение в столбик, только слева направо.
Рассмотрим в качестве примера двоичную систему счисления. Тогда $p$-числа в ней – это счетные последовательности, состоящие из $0$ и $1$. Сразу отметим, что эти последовательности представляют собой множество всех подмножеств натурального ряда, которые имеют мощность континуума. Также каждому такому набору $0$-ей и $1$-ц можно сопоставить вещественную точку на отрезке $[0, 1]$. А именно этот же набор чисел рассмотреть как двоичное представление вещественных чисел в качестве знаков после запятой. Так $0$ будет соответствовать последовательности $0,0000…, 1 - 0,111111…$ Действительно последняя последовательность представляет собой сумму $1/2+ (1/2)^2+(1/2)^3+… = 1$.
Зададим отношение порядка, сравнения $p$-чисел между собой следующим образом. Будем сравнивать их по разрядам слева направо $(1>0)$. Сразу отметим два момента. Если у $p$-числа начиная с некоторого места имеются одни $1$-цы, то эти числа легко сравнить с другими такими же: больше то, у которого раньше в разряде начинаются все единицы. Числа, у которых в разряде бесконечно много $0$, то есть нет места, с которого начинаются все единицы, полагаются заведомо меньшими, чем числа, у которых начиная с некоторого места все единицы. Таким образом самым большим $p$-числом в двоичной системе счисления будет число, состоящее из одних $1$-ц: $11111…$ Это число представляет собой $2$-адический позиционный ряд $1+2+2^2+2^3+…$, который равен $(-1)$. Также заметим, что максимально большое $p$-число не зависит от основания $m$ и равно также $(-1)$. А именно, в $m$-той системе счисления максимальным $p$-числом будет $M = (m-1)+(m-1)m+(m-1)m^2+(m-1)m^3+…$ Умножив обе части на $m$, получим $m \cdot M=(m-1)m+(m-1)m^2+… =M-m+1$, откуда следует, что $M = -1$.
Таким образом сложение и умножение не будет выводить $p$-числа из класса $p$-чисел, ибо $1+M$ (максимально большое $p$-число) $= 0$. Такая сумма представляет собой математический коллапс.

Так как максимальное позиционно бесконечное число по значению не зависит от системы счисления, то обозначим его как $m_p$ (максимальное позиционно бесконечное число), тогда $m_p = -1$.

Множество позиционных чисел (конечных и бесконечным) мы будем называть позиционным кольцом и обозначать $N_p$. По аналогии с множеством натуральных чисел, представляющих собой натуральную, счетную бесконечность, мы будем говорить о позиционной бесконечности, состоящей из позиционных чисел, но которая уже представляет собой множество мощности континуум.

Введем понятие математического коллапса. Так ныне стала модной теория физического коллапса вселенной, а именно, что наша вселенная, расширяясь, не может расширяться до бесконечности, и, дойдя до некоторого момента, свернется до точки сингулярности, или превратится в черную дыру. Но вот нечто подобное, оказывается, существует в математике.
А именно математическим коллапсом мы назовем сумму обычных единиц, взятом в достаточном количестве, такую, что $\sum 1 = 0$. А структуру, имеющую математический коллапс, назовем закольцованной.
Так вот сумма $2+2+2^2+2^3+… = 0$ (просто исчезает на глазах, коллапсируется). Здесь мы на каждом шаге увеличиваем количество слагаемых единиц в соответствии со степенями $2$-ки. Данная сумма представляет собой математический коллапс. А $2$-числа оказываются закольцованной структурой. Также это верно для любых m-позиционных чисел. То есть множество $N_p$ является закольцованным.

$2$-числа являются кольцом. То есть представляют замкнутую структуру относительно сложения и умножения. И для каждого $2$-числа существует обратный относительно сложения элемент. Так вот $2$-числа как раз оправдывают название кольца, круга, по существу. А именно, сложение достаточного числа $1$-ц приводит к тому, что мы начинаем с некоторого момента ходить буквально по кругу.

Понятно, что для кольца вычетов по модулю $m$, достаточно взять $m$ единиц, которые в сумме равны $0$. Поэтому кольцо вычетов имеет характеристику $m$. Характеристика кольца и определяется как целое положительное число. Для $N_p$ не существует такого целого положительного числа $m$, что сумма m единиц оказывается равна нулю. Поэтому характеристикой $N_p$ является $0$. Но оказывается, что если взять достаточно большое число $1$-ц, в количестве $2^{(N+1)}$, то мы получим $0$. То есть, если характеристикой кольца считать не целое положительное число, а допускать возможность полагать большие величины, то характеристикой $N_p$ является величина $2^{(N+1)}$.

Почему мы называем позиционно бесконечные числа иногда натурально бесконечно большими числами, потому что их можно складывать как натуральные числа между собой, так и складывать с обычными натуральными числами. Например, 1+11111… = 1+(-1) = 0.

Легко проверить, что p-числа, у которых начиная с некоторого места имеются все 1-цы, представляют собой отрицательные целые числа, то есть -∞ (минус бесконечность). А также те числа, у которых, начиная с некоторого места имеются только 0, представляют собой просто натуральные числа.


Осталось задать порядок между $p$-числами, в записи которых бесконечно много $0$-ей и $1$-ц. Здесь сразу же возникает трудность в сравнении по разрядам, ибо $0$ и $1$ чередуются и это сравнение уходит в бесконечность, то есть возникает некоторая неопределенность. Но! Заметим, что каждому $p$-числу мы можем сопоставить единственное (!) вещественное число, просто записав всю последовательность цифр, представляющих $p$-число, после запятой, тогда у нас получится $m$-ое разложение какого-то вещественного числа. Причем это соответствие будет взаимно-однозначным, то есть между $p$-числами и вещественными числами на отрезке $[0, 1]$ существует биективное соответствие. А также на отрезке $[0, 1]$ имеется упорядочивание вещественных чисел строго по значению m-ого разложения. Тогда мы можем перенести этот порядок на порядок между $p$-числами только в обратном соответствии, то есть знак больше заменить на меньше.

Давайте рассмотрим пример:
Возьмем двоичное разложение числа $0,1010101…$, что будет соответствовать $p$-числу $1010101010…$
$0,1010101… = (1/2)^1+(1/2)^3+(1/2)^5+(1/2)^7… = a_n$, что представляет сумму с нечетными степенями $1/2$.
В дополнение рассмотрим число с четными степенями $1/2: 0,01010101… = a_c$.
Тогда $ a_n = 0,1010101… = (1/2)^1+(1/2)^3+(1/2)^5+(1/2)^7…=$
$1/2(1+(1/2)^2+(1/2)^4+…) =1/2(1+ a_c)$
А также заметим, что $a_n + a_c = 0,11111… = 1$
Отсюда получаем, что $a_c=1/3, a_n=2/3$.
А теперь вычислим соответствующие им $p$-числа:
$p_n = 101010101… = 1+2^2+2^4+2^6+…$
$p_c = 010101010… = 2+2^3+2^5+2^7+… = 2(1+2^2+2^4+2^6+…)=2p_n$
И также верно, что $p_c+ p_n=11111… = -1$.
Отсюда следует, что $p_c = -2/3, p_n = -1/3$. То есть мы видим, что $a_c=1/3=-p_n, a_n=2/3=-p_c$.

Можно несложно доказать (и я это проделал), что для любого $m\geqslant2$, вещественное число на интервале $(0, 1)$, имеющее в $m$-ой системе счисления периодическую запись, по значению в точности равно значению со знаком минус $p$-ого числа, имеющего в m-ой системе счисления обратный период. А именно: пример, если вещественное число $x = 0,111011101110…$, то ${\bar x}$ (сопряженное $p$-число) $= 011101110111… = -x$ по значению. То есть сопряженные числа оказываются симметричными относительно нуля. И одно из другого получается умножение на $(-1)$. То есть периодические $p$-числа имеют дробные значения, которые заключаются на интервале $(-1, 0)$. То есть континуум значений $p$-чисел по нецелочисленным значениям располагается где-то на вещественной прямой. И некоторые $p$-числа с нецелыми значениями оказываются даже больше $-1$, хотя по разрядам они и считаются меньшими.
Так, кстати, по значению $- 0,111111… = 1111111…$
Можно также отметить, что если вещественное число имеет более значимым разряд, ближайший к нулю, левый, то $p$-числа соответственно более значимым имеют разряд, который располагается правее. Если бы мы могли привести бесконечную запись вещественного числа к единому общему знаменателю, то мы увидели бы обратное соответствие по записям разрядов (то есть если запись зеркально отобразить по разрядам в противоположном порядке). Но в общем случае мне не удалось доказать, что для любого вещественного $x$ из $(0, 1)$, $x=- {\bar x}$ по значению (это, наверное, и не так).

В любом случае, мы имеем такое представление: $p$-числа, в разряде которых, начиная с некоторого места имеются все $1$, представляют собой целые отрицательные числа от $-\infty$ до $-1$ по значению. $p$-числа, у которых, начиная с некоторого места имеются все $0$, это обычные натуральный числа от $1$ до $+\infty$ по значению. Периодические $p$-числа по значению – это какие-то дробные числа на интервале $(-1, 0)$. Ну и остаются какие-то непериодические бесконечные наборы $0$ и $1$, которым можно биективно сопоставить строго упорядоченные вещественные числа на интервале $(0, 1)$. Причем эти $p$-числа будут иметь нецелые значения, ибо у нас уже целые числа заняты. Да и в общем-то нам их упорядочивание по разрядам не значимо.

В целом же представленные ниже формулы имеют смысл, понимая, что выражения слева есть также поворот по оси на $-1$:

$e^{i\pi} = m_p = -1$
$i^2= -1 = m_p$

Заметим также, что $\sum\limits_{i=0}^{k}(m-1)m^i = (m-1)(\sum\limits_{i=0}^{k}m^i ) = m^{(k+1)}-1$. Если положить $k= \infty$, то получим $-1=m^{(\infty+1)} -1$. А тогда получаем удивительную формулу:

$m^{(\infty+1)} = 0$, которую можно записать так:

$m \cdot \prod\limits_{i=1}^{\infty}m = 0$ для любого натурального $m \geqslant 2$.

И что же означает это уравнение, этот математический коллапс? А то, что если у нас есть бесконечная запись какого-то $p$-числа с бесконечной последовательностью ненулевых цифр, то умножение его на основание просто сдвигает цифры вправо, а бесконечно удаленная цифра пропадает, обращается в ноль. То есть если представить фиксированную бесконечную запись $p$-числа по цифрам, то умножение его на основание m сдвигает все цифры вправо, а самой бесконечно удаленной цифре ничего не остается, ибо все места заняты, как обращаться в $0$.

Если мы обозначим бесконечную степень любого натурального числа $\geqslant 2$ как
$m^{\infty}=\prod\limits_{i=1}^{\infty}m $, то получим, что

$m \cdot m^{\infty}=0$ или другими словами:

$ m^{\infty} + m^{\infty} +… +m^{\infty}= \sum\limits_{i=1}^{m}m^{\infty} = 0$.

То есть $m^{\infty}$ похоже на элемент класса вычетов по модулю $m$!
$m^{\infty}$ есть и ни что иное как бесконечно удаленная $1$-ца.
Можно даже рассмотреть множество, состоящее из элементов $\{0, m^{\infty}, 2 m^{\infty} … (m-1) m^{\infty} \}$, что представляет собой кольцо… бесконечно удаленного разряда.
Принимая во внимание, что бесконечно удаленный разряд имеет приоритет над всеми предыдущими разрядами, то число, у которого $(m-1) m^{\infty}$ - ненулевой бесконечно удаленный разряд, больше тех чисел, у которых он нулевой или имеет значение меньшее $(m-1)$.

Кстати максимальность позиционно бесконечного числа, в записи которого стоят только $(m-1)$ цифры – максимальный класс вычета по модулю m, легко проиллюстрировать прибавлением в столбик $1$-цы, а именно, например, для $m=2$:

$1111111… = -1$
$1$
_________
$0000000…$

Поэтому число $111111…$ мы и назвали максимумом позиционно бесконечных чисел, ибо оно представляет предельно максимальное последнее целое число перед $0$, а также в разрядной записи имеет все $1$, то есть по разрядам превосходит все остальные.

Также отметим, что с одной стороны, если позиционно бесконечное число обрезать в любом месте, оно будет представлять обычное натуральное число. С другой стороны, если его не обрезать, то оно будет представлять либо отрицательное целое число, либо какое-то нецелое число по значению. Вместе с тем, количество позиционных чисел континуум, то есть несчетное число. То есть их больше, чем обычная натуральная бесконечность! То есть, если мы будем последовательно отсчитывать единицы в позиционном разложении слева направо, то мы будем получать натуральный ряд чисел, перебирая каждый раз натуральные числа, но если мы рассмотрим бесконечность таких чисел, то получим континуум, а не счетное множество. И связано это с на порядок большей скоростью роста по величине множества всех подмножеств числа n по сравнению с ростом линейной функции n, отсчитывающей по одному разряду. То есть у нас счетное число разрядов, но при этом несчетная величина позиционно бесконечных чисел.

Заметим также, что если мы рассмотрим суммы вида $\sum\limits_{i=0}^{\infty}m_i $, где $m_i$ – произвольные натуральные числа, то у нас возникает неопределенность, связанная с бесконечностью. Это происходит от того, что в таком представлении каждое натуральное число имеет множество вариантов представления. Число вариантов представлений, разбиений натурального числа на составные слагаемые, кстати, дает формула Рамануджана-Харди. А более число композиций – представлений разбиения с перестановками – равно $2^{(n-1)}$ для любого натурального $n$.
Пример, рассмотрим ряд $1+1+1+…=s$, этот же ряд мы можем записать, например, как $2+2+2+…$, объединив соседние единицы по две в двойки, что равно $2(1+1+1+…) = 2s$, а тогда $s=2s, s=0$. Противоречие.
Но если мы задаем структуру представления натуральных чисел через $m$-тую позиционную систему счисления, то каждое натуральное число имеет единственное! представление в виде суммы по степеням $m$. Это происходит от того, что степенная функция растет на порядок круче линейной, подходя для структурирования бесконечности в связи с тем, что умножение как возведение в степени растет действительно быстрее, чем простое прибавление (ибо перед весами $m^i$ мы рассматриваем числа $0, 1, … m-1$). Так $\sum\limits_{i=0}^{k}(m-1)m^i = m^{(k+1)}-1$ ровно на $1$-цу меньше, чем $m^{(k+1)}$, вот это равенство и обеспечивает единственность(!) представления натуральных чисел в $m$-ой системе счисления. Далее мы рассмотрели расширение ряда натуральных чисел позиционно бесконечными числами, $p$-числами.

С ув. Алексеев Андрей, Андрей Петербургский

[Коровьев]

Теорема Островского.
Две метрики: абсолютная величина и $p$-адическая метрика для всех простых чисел $p$ исчерпывают все нетривиальные метрики поля рациональных чисел.
Смотри, к примеру, "Теория чисел" Боревич, Шаферевич.

Следовательно, $m$-адические числа, где $m$ составное, метрики не имеют.
А это значит, что нельзя построить фундаментальные последовательности, определить понятие предела и пр. и пр.. Да и элементарные арифметические операции с такими числами могу привести к ахинее.
Конечно, строить новые числа без метрики никому не возбраняется, но тогда могут вылезти из бесконечности такие шедевры

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

если у нас есть бесконечная запись какого-то $p$-числа с бесконечной последовательностью ненулевых цифр, то умножение его на основание просто сдвигает цифры вправо, а бесконечно удаленная цифра пропадает, обращается в ноль. То есть если представить фиксированную бесконечную запись $p$-числа по цифрам, то умножение его на основание m сдвигает все цифры вправо, а самой бесконечно удаленной цифре ничего не остается, ибо все места заняты, как обращаться в $0$.

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Сложение и умножением для $p$-чисел зададим как обычное сложение и умножение в столбик, только слева направо.

И чему будет равна ($m = 2$) сумма $(1, 1, 0, 0, 0, \ldots) + (1, 1, 0, 0, 0, \ldots)$?

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Умножив обе части на $m$

Как определяется умножение $p$-чисел на натуральные?

[Alexeev_Andrey]

Коровьев в сообщении #1153167 писал(а):

Теорема Островского.
Две метрики: абсолютная величина и $p$-адическая метрика для всех простых чисел $p$ исчерпывают все нетривиальные метрики поля рациональных чисел.
Смотри, к примеру, "Теория чисел" Боревич, Шаферевич.

Следовательно, $m$-адические числа, где $m$ составное, метрики не имеют.
А это значит, что нельзя построить фундаментальные последовательности, определить понятие предела и пр. и пр.. Да и элементарные арифметические операции с такими числами могу привести к ахинее.
Конечно, строить новые числа без метрики никому не возбраняется, но тогда могут вылезти из бесконечности такие шедевры

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

если у нас есть бесконечная запись какого-то $p$-числа с бесконечной последовательностью ненулевых цифр, то умножение его на основание просто сдвигает цифры вправо, а бесконечно удаленная цифра пропадает, обращается в ноль. То есть если представить фиксированную бесконечную запись $p$-числа по цифрам, то умножение его на основание m сдвигает все цифры вправо, а самой бесконечно удаленной цифре ничего не остается, ибо все места заняты, как обращаться в $0$.

Метрика здесь не причем. Метрика меня не интересует. То, что вы цитируете, верно в частности и для простых p. Я и назвал именно позиционные числа (position numbers), а не p-адические.
Не я один получил сумму $2$-адического (2-позиционного) ряда $-1$, упражнение $8$ о том свидетельствует: http://kvant.mccme.ru/1979/02/2--adicheskie_chisla.htm

«шедевры» - это Вы правильно заметили.
обозначим $max(p) = m_p = -1$. Тогда

$e^{i\pi} = m_p = -1$ (это уравнение по сути рассматривается как связь разных замечательных чисел; максимальные позиционные числа также представляют замечательные числа)
$i^2= -1 = m_p$

Интересное выражение:
$m \cdot \prod\limits_{i=1}^{\infty}m = 0$ для любого натурального $m \geqslant 2$.

Что же это у нас получается, что если мы берем и просто суммируем некоторые сущности, $1$-цы, то они не могут в сумме бесконечно возрастать, а, начиная с некоторого момента, дают ноль. То есть у нас получается, что континуум является предельным множеством (как показатель в физическом мире). То есть у нас есть $\mathbb R, {\mathbb R}^2, {\mathbb R}^3$ – все по мощности континуум, и все. Дальше уже наступает чистый математический формализм вроде ${\mathbb R}^n$, где $n>3$. Возможно, это условный ноль, то есть данному числу просто нет места. Аналогично, когда число вычетов становится в сумме равным основанию, то обращается в ноль. Но это не означает все же, что мы не можем выходить по сумме за рамками рассматриваемого основания. Также интересно отметить, что такого результата мы не получаем, если рассмотреть позиционный ряд, состоящий из $1$-ц, по основанию $1$, например $3=111, 4=1111$, ну и просто рассмотреть $\sum\limits_{i=0}^{\infty}1$, что представляет натуральную бесконечность, а не $0$.

Примечание. «В конструкции p-адических чисел в качестве основания берется простое число – делимое лишь на себя и 1 (в немецком языке такого рода объект именуют Primzahl, что и подсказало Курту Гензелю назвать свое открытие $p$-adischen Zahlen).»
Адические числа по-русски не очень звучит, поэтому мы предпочитаем называть их позиционными числами, что соответствует и сути их представления, но оставив название p-числа в честь того, что о простых числах говорил Курт Гензель, сократив слово «адических», ибо оно все же образовано от немецкого слова, связанного с только делением на себя, то есть со свойством простоты, мы же основной упор делаем не на простоту p, а на позиционное представление, поэтому и называем числа позиционными, и так по-русски приятнее звучит. И стоит также помнить, что основу нашего изложения – позиционное исчисление использовали еще шумеры и вавилоняне, а потом развили индусы (то есть опять индийские математики)!

mihaild в сообщении #1153194 писал(а):

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Сложение и умножением для $p$-чисел зададим как обычное сложение и умножение в столбик, только слева направо.

И чему будет равна ($m = 2$) сумма $(1, 1, 0, 0, 0, \ldots) + (1, 1, 0, 0, 0, \ldots)$?

Элементарно в столбик слева направо
$110000.. = 1+2 = 3$
$110000.. = 1+2 =3$

$---------$

$0110000… = 2+4 = 6$

mihaild в сообщении #1153194 писал(а):

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Умножив обе части на $m$

Как определяется умножение $p$-чисел на натуральные?

Умножение аналогично сложению в столбик, только бесконечный разряд уходит в ноль при сдвиге
Допустим $11111…$ умножить на какое-то натуральное, пусть $11000…=3$
$11111… = -1 \times$
$11000… = 3$

$---------$

$11111111 +$
$01111111$

$-----------$

$1011111111 = -1-2=-3$
Все работает элементарно. Как в детстве в столбик (только здесь в двоичной системе).
Это так определяется и для p-адических чисел, ничего не меняется и для произвольного натурального основания.

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1158001 писал(а):

Элементарно в столбик слева направо
$110000.. = 1+2 = 3$
$110000.. = 1+2 =3$

Ну т.е. как на натуральных числах, только вы пишете наименьшие разряды слева, и приписываете бесконечное число нулей.
Так можно, но тогда непонятно, что значит

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Также каждому такому набору $0$-ей и $1$-ц можно сопоставить вещественную точку на отрезке $[0, 1]$.

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

То есть можно сказать, что вещественные числа на отрезке $[0, 1]$ имеет структуру $m$-адических чисел

(сопоставить, конечно, можно - равномщность есть - но операции не сохраняются)

В ваших $m$-числах сложение и умножение совпадают с $m$-адическими? Если нет, то выпишите, пожалуйста, четко, как они происходят. Если да, то для составного $m$ будут делители нуля со всеми вытекающими - нельзя делить, нельзя упорядочить с сохранением свойств $a > 0 \leftrightarrow -a < 0; a, b > 0 \rightarrow ab > 0$ и т.д.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: в дискуссионном разделе все понятия должны быть определены, все утверждения строго доказаны.

Alexeev_Andrey, определите все используемые понятия и докажите все утверждения строго.

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

функция $2^n$ хоть и растет быстро, но для каждого фиксированного, сколь угодно большого n все же найдется m, такое что $m>2^n$...Но это все же не так.

Докажите (это неверно).

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Такая сумма представляет собой математический коллапс.

Что есть "коллапс"? Определяйте или выкидывайте утверждение из текста.

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Так как максимальное позиционно бесконечное число не зависит от представления, то обозначим $max(p) = -1$.

Что за функция $\max$, как она определяется и зачем нужна посылка слева?

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

$p$-числа, у которых начиная с некоторого места имеются все $1$-цы, представляют собой натуральный ряд с отрицательным знаком

Нормально сформулируйте. Термин "натуральный ряд" обозначает просто $\mathbb{N}$.

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Ничто. Начало пути... начало всего натурального ряда сначала...

Зачем этот пафос?

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Вывод: бесконечность позиционного ряда оказывается закольцованной(!), упираясь прямо в $0$.

Это утверждение или пафос? Что есть "бесконечность позиционного ряда"?

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Причем это соответствие будет взаимно-однозначным, то есть между $p$-числами и вещественными числами на отрезке $[0, 1]$ существует биективное соответствие.

Докажите (это неверно).

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Удивительно, позиционная бесконечность закольцована через континуум,

Термин "закольцована" определяйте.

Alexeev_Andrey в сообщении #1153133 писал(а):

Тогда мы можем перенести этот порядок на порядок между $p$-числами только в обратном соответствии, то есть знак больше заменить на меньше.

Докажите (не можем)
И т.п.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.