(ТАУ) Запись комплексного числа в показательной форме

[dzonya]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться с примером по ТАУ, нужный форм не нашел на сайте поэтому пишу здесь. Есть передаточная функция, из нее мы выделяем вещественную и мнимую части ( преподаватель дает два варианта решения - в алгебраической или показательной форме). Как решать в алгебраической форме понятно, а вот как в показательной форме выделять мнимую и вещественную часть не совсем ясно. Вещественная часть находится в АЧХ - это модуль от W(j$\omega$)
. А вот как находится ФЧХ не понятно, как в примере вычисляется 0, 90 градусов? Формула нахождения понятна это аргумент от W(j$\omega$), но как его здесь взять ? Откуда эти градусы ? Помогите, если кто может, спасибо.
W($\rho$)=$\frac{k}{\rho (T\rho+1)}$

W(j$\omega$)=$\frac{\kappa\cdot e^j0}{\omega\cdot e^j90\cdot \sqrt{T^2\omega^2+1}\cdot e^\arctg\omega T}$=$\frac{\kappa}{\omega\cdot\sqrt{T^2\omega^2+1}}$$\cdot e^j(-90-\arctg\omega T)$

А($\omega$)=$\frac{\kappa}{\omega\cdot\sqrt{T^2\omega^2+1}}$

$\varphi(\omega)=(-90-\arctg\omega T)$

[svv]

Берём $W(\rho)$, подставляем $\rho=j\omega$:
$W(j\omega)=\frac{k}{j\omega(1+j\omega T)}$

При сложении и вычитании комплексных чисел очень просто ведут себя их вещественные и мнимые части — они складываются и вычитаются. А вот при умножении и делении просто ведут себя их модули и аргументы. А как именно?

[dzonya]

svv в сообщении #1153132 писал(а):

Берём $W(\rho)$, подставляем $\rho=j\omega$:
$W(j\omega)=\frac{k}{j\omega(1+j\omega T)}$

При сложении и вычитании комплексных чисел очень просто ведут себя их вещественные и мнимые части — они складываются и вычитаются. А вот при умножении и делении просто ведут себя их модули и аргументы. А как именно?

Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей сомножителей, а аргумент равен сумме/разности аргументов сомножителей/делимого и делителя? Это как со степенями при делении вычитаются при умножении складываются.

[svv]

Прекрасно.
Если при сложении/вычитании аргумент выйдет за пределы $(-\pi, +\pi]$, а мы хотим иметь его в этом интервале, можно ещё добавить или вычесть $2\pi$ для коррекции.

Вернёмся к Вашей задаче.
$W(j\omega)=\dfrac{k}{j\omega(1+j\omega T)}$
Я вижу это так:
$W(j\omega)=\dfrac{z_1}{z_2 z_3}$,
где $z_1=k,\; z_2=j\omega,\; z_3=1+j\omega T$. В соответствии с тем, что Вы сказали,
$\arg W(j\omega)=\arg z_1-\arg z_2-\arg z_3=\arg k-\arg (j\omega)-\arg (1+j\omega T)$
Но найти эти аргументы несложно, верно?

-- Вт сен 20, 2016 21:58:00 --

Или именно с этим и проблемы?

[dzonya]

Да, я что-то застрял с ними и с LaTeX

-- 20.09.2016, 23:05 --

надо представить, что к - комплексное счисло? z1=$\kappa+j\cdot0$, получим arg($\kappa+j\cdot0$) и т.д с остальными z

[svv]

Про $\LaTeX$ можете спрашивать меня в личных сообщениях.

Ну, да. В алгебраической форме:
$z_1=k+j\cdot 0$
$z_2=0+j\cdot\omega$
$z_3=1+j\cdot\omega T$
Но вот как перейти отсюда к аргументам... А что это вообще такое — аргумент комплексного числа?

[dzonya]

Аргумент комплексного числа - угол $\varphi$, $\varphi=Argz$

[torn]

Судя по сабжу, рассуждения логично вести в плоскости ТАУ.
Ув. dzonya, Вы понимаете что ваша САУ состоит из нескольких типовых звеньев?
Из двух(интегрирующее и апериодическое) или трех(усилительное, интегрирующее и апериодическое), в зависимости от препода. Некоторые авторы считают, что усилительное звено в чистом виде не существует, там обязательно присутствует еще и апериодическое, например.
Суммарная АЧХ нескольких звеньев равна произведению АЧХ отдельных звеньев.
Суммарная ФЧХ нескольких звеньев равна сумме ФЧХ отдельных звеньев.

[svv]

dzonya в сообщении #1153151 писал(а):

Аргумент комплексного числа - угол $\varphi$, $\varphi=Argz$

... отсчитываемый от положительного направления вещественной оси против часовой стрелки.
Но вот число $z_1=k+i\cdot 0$, судя по формуле, лежит на вещественной оси. А исходя из физики, скорее всего, положительно. Какой аргумент?
Что с $z_2$?

[dzonya]

z2=0+j$\omega$. и равно $\sin\frac{\omega}{| z2 |}$=90

-- 20.09.2016, 23:29 --

svv в сообщении #1153154 писал(а):

dzonya в сообщении #1153151 писал(а):

Аргумент комплексного числа - угол $\varphi$, $\varphi=Argz$

... отсчитываемый от положительного направления вещественной оси против часовой стрелки.
Но вот число $z_1=k+i\cdot 0$, судя по формуле, лежит на вещественной оси. А исходя из физики, скорее всего, положительно. Какой аргумент?
Что с $z_2$?

А вроде понял, аргумент равен нулю

-- 20.09.2016, 23:31 --

получаем запись вида $\kappa\cdot e^j0$

[svv]

$90°$ — это «по-взрослому» $\frac{\pi}{2}$.

Дано комплексное число $z\neq 0$. Пусть сначала $\operatorname{Re} z\neq 0$, то есть $z$ не является чисто мнимым.
Если $\varphi=\arg z$, то $\tg\varphi=\frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}$, т.е. тангенс Вам известен. Значит, надо найти $\varphi$ по его тангенсу. Проблема в том, что на $(-\pi, +\pi]$ заданный тангенс имеют два угла, один из которых $\arctg\frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}$, а другой $\arctg \frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}+\pi$ или $\arctg\frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}-\pi$ (в зависимости от того, какой попадает в $(-\pi, +\pi]$).

Выбор нужного варианта — в зависимости от знака $\operatorname{Re} z$:
если $\operatorname{Re} z>0$, берём $\arctg\frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}$
если $\operatorname{Re} z<0$, берём $\arctg\frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}+\pi$ или $\arctg\frac{\operatorname{Im} z}{\operatorname{Re} z}-\pi$ (тот из них, который попадает в $(-\pi, +\pi]$).

Здесь всё понятно?

[dzonya]

Да, я про это читал,тоько в другом исполнении, зависит в какую четверть попадем,помойму. Тоько не понятно, как взять z2 например: arctg$\frac{\omega}{0}$=

[svv]

По $\LaTeX$: если подвести мышку к формуле, Вы увидите код, с помощью которого она набрана.

Осталось разобраться, что делать, когда $\operatorname{Re}z=0$. Здесь три варианта:
если $\operatorname{Im}z>0$, аргумент $z$ равен $\frac{\pi}2$;
если $\operatorname{Im}z<0$, аргумент $z$ равен $-\frac{\pi}2$;
если $\operatorname{Im}z=0$, то $z=0$ и его аргумент неопределён.

Для $z_2=j\omega$ выбирается первый вариант из этих трёх, так как $\operatorname{Re}z_2=0,\;\operatorname{Im}z_2=\omega>0$. Следовательно, $\arg z_2=\frac{\pi}2$.

[dzonya]

А с $z_3$ получается просто $\arctg\omega T$. Спасибо большое ,что разложили все так подробно, надо переписать в тетрадь, а то преподаватель ничего не дает и не разъясняет.Я уже отчаялся, самому не додумать было. А если перед комплексным числом стоит какая-нибудь константа, 2j$\omega$ получиться просто $\pi$ ?

[svv]

Нет, что Вы!
$\arg 2j\omega=\arg 2+\arg j\omega=0+\arg j\omega=\arg j\omega=\frac{\pi}{2}$
Иначе говоря, умножение на вещественное число $k>0$ не меняет аргумент, лишь модуль увеличивается в $k$ раз.

То же получается по правилу:

svv в сообщении #1153166 писал(а):

Осталось разобраться, что делать, когда $\operatorname{Re}z=0$. Здесь три варианта:
если $\operatorname{Im}z>0$, аргумент $z$ равен $\frac{\pi}2$;

Ведь после умножения на $2$ у нас по-прежнему $\operatorname{Re}z=0$ и $\operatorname{Im}z>0$.