Задача по электродинамике

[Roxkisabsver]

Имею задачу :

"Найти напряженность $E(\vec{r})$ и потенциал $\phi(\vec{r})$ электростатического поля, создаваемого однородно (с объемной плотностью $\rho$ ) заряженным шаром радиуса $R$."

Решаю так.

Пишу сначала решение уравнения Пуассона в виде: $\phi(\vec{r})=\int{\frac{\rho dV'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}}$.

Подставляю элемент объёма $dV$ в сферических координатах: $dV=r^2 dr \sin{\theta}d\theta d\phi$

Интегрирование по углам даёт множитель $4\pi$ и остаётся интеграл вида: $\int\limits_{0}^{R}{\frac{r^2dr}{|\vec{r}-\vec{r'}|}} $.

И не могу понять как подобный интеграл расписать. Прошу помощи в понимании этой задачи.

[user14284]

Проще через теорему Гаусса.

[Gickle]

Тут уже справедливо заметили, что данная задача легко решается при помощи теоремы Гаусса. Что касается вашего интеграла, то прежде всего нарисуйте картинку и посмотрите, что есть ваше ${{|\vec{r}-\vec{r'}|}} $.

[amon]

Roxkisabsver в сообщении #1151821 писал(а):

Интегрирование по углам даёт множитель $4\pi$

А $|\vec{r}-\vec{r'}|$ по Вашему, от углов ни как не зависит?

[warlock66613]

И $dV'$ как-то превратился в $dV$ по дороге.

[realeugene]

Решите сначала эту задачу для тонкого сферического слоя.

[DimaM]

Roxkisabsver в сообщении #1151821 писал(а):

Пишу сначала решение уравнения Пуассона в виде: $\phi(\vec{r})=\int{\frac{\rho dV'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}}$.

А ежели уравнение Пуассона записать $\nabla^2\varphi=-4\pi\rho$, да выразить лапласиан, пользуясь симметрией? Получится довольно простое ОДУ, которое легко дважды интегрируется. Потом только нужно с граничными условиями разобраться.
(В скобках замечу, что задача все-таки по электростатике.)

[Munin]

Мне в голову упорно лезет решение "включить лампу, надеть очки и посмотреть в справочнике"...

[realeugene]

DimaM в сообщении #1152085 писал(а):

В скобках замечу, что задача все-таки по электростатике.

Автору вопроса, видимо, всё-таки нужно вспомнить школьный факт, что закон обратных квадратов для гравитации приводит к тому, что сферически симметричный слой вещества гравитирует снаружи так, как будто вся его масса сосредоточена в центре сферы, а внутри него гравитационное поле равно нулю. Поэтому, нужно сначала формально решить задачу для тонкого сферического слоя.

[Munin]

(Оффтоп)

Знаменитый Проспект ФОПФ МФТИ, юмористическая часть:


Цитата:

Собеседование
...
Выглядит это примерно так:

3. Как с помощью настольной лампы и очков определить коэффициент преломления стекла?

Ответ. Включи лампу, надень очки и посмотри в справочник.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1152157 писал(а):

Поэтому, нужно сначала формально решить задачу для тонкого сферического слоя.

Да вовсе не обязательно. Можно через теорему Гаусса напрямую, можно решать уравнение Пуассона, опять же напрямую.

[realeugene]

Вы правы, непосредственно используя симметрии проще.