Пчёлки на ромашках

[Ktina]

Вдоль окружности посажено 20 ромашек, на каждой ромашке сидит одна пчёлка.
Время от времени две пчёлки одновременно перелетают на соседние ромашки в противоположных направлениях.

а) Могут ли все пчёлки собраться на одной ромашке?
б) На каком наименьшем количестве ромашек могут собраться все пчёлки?

[Mihr]

(Оффтоп)

а. Нет. Пронумеруем ромашки по кругу (начиная с любой). Сумма номеров ромашек, на которых сидят пчёлки (с учётом кратности) - величина инвариантная относительно перелётов пчёлок и равна 210. Это число на 20 не делится.
б. На двух получается. Половина пчёлок собирается на 10-й ромашке, двигаясь в одну сторону, другая половина - на 11-й, двигаясь зеркально.

[Ktina]

Mihr в сообщении #1148754 писал(а):

(Оффтоп)

Сумма номеров ромашек, на которых сидят пчёлки (с учётом кратности) - величина инвариантная относительно перелётов пчёлок и равна 210.

А если первая перелетела со второго цветка на третий, а вторая - с первого на 20-й? По-прежнему 210 будет? Или уже 230?

[arseniiv]

Если сумму рассматривать по модулю 20, точно будет неизменной и равной 10, а не желаемому нулю.

[ET]

Интересно, что для случая $4k$ условие

Ktina в сообщении #1148747 писал(а):

в противоположных направлениях.

нужно

Для случая $4k+2$ не соберутся и если в одном направлении им можно перелетать