2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение26.08.2016, 14:49 


12/11/13
89
Добрый день!

Есть скалярная действительная функция времени $u(t)$, где $t>0$. И есть функция $y(t)$, являющаяся решением дифференциального уравнения
$$\frac{d}{dt}y(t) + y(t) = u(t).$$

Известно, что $u(t)$ - ограничена и, к тому же, $u(t)\notin \mathcal{L}_2$, то есть
$$\lim_{t\to\infty}{\int_0^t{u^2(s)ds}}=\infty.$$

Вопрос: можно ли утверждать, что $y(t)$ тоже не $\mathcal{L}_2$, то есть что $\lim_{t\to\infty}{\int_0^t{y^2(s)ds}}=\infty.$

Мои рассуждения.
Решение дифференциального уравнения будет
$$ y(t) = e^{-t}y(0) + \int_0^t{e^{-(t+s)}u(s)ds}.$$
Выкинем пока экспоненциально затухающий член, пусть $y(0)=0$. Тогда у нас останется только интегральный член
$$y(t) = e^{-t}\int_0^t{e^{s}u(s)ds}.$$
Тогда, для ответа на вопрос, нам надо выяснить, правда ли, что при $u(t)\notin \mathcal{L}_2$ интеграл
$$\int_0^\infty{e^{-2t}\left(\int_0^t{e^{s}u(s)ds}\right)^2dt}$$
расходится. Мы знаем, что так как $u(t)$ ограничено, то и $y(t)$ ограничен, но это пока не особо помогает. Если существует какой-то контрпример, то он, вероятно, должен быть для $u(t)\to 0$, и, соответственно, $y(t)\to 0$, но мне не удалось пока его подобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение26.08.2016, 15:08 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Ну если, допустим, управление принадлежит $L_1$, то будет ограниченность решений, т.е. $y(t)\in L_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение26.08.2016, 15:51 


12/11/13
89
1r0pb в сообщении #1146748 писал(а):
допустим, управление принадлежит $L_1$
Нет, такой информации нет.
1r0pb писал(а):
будет ограниченность решений, т.е. $y(t)\in L_2$.
Ограниченность $y(t)$ будет в любом случае, так как ограничен вход $u(t)$. Однако, $y(t)\in \mathcal{L}_2$ отсюда не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение26.08.2016, 15:55 


20/03/14
12041
Arastas в сообщении #1146761 писал(а):
Однако, $y(t)\in \mathcal{L}_2$ отсюда не следует.

Вы множество не указали. $L_2(\mathbb R)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение26.08.2016, 15:58 


12/11/13
89
Ой, да, простите. Всё в действительных числах.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.08.2016, 16:04 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.08.2016, 19:23 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение26.08.2016, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Для контрпримера надо взять что-то вроде $u(t)=\sin(t^2)$. Это колебания постоянной амплитуды, но с растущей частотой. Фишка в том, что рост частоты не мешает интегралу от $u^2(t)$ расходиться, но приводит к убыванию амплитуды $y(t)$, см. график:
Wolfram|Alpha: y'(x)+y(x)=sin(x*x), y(0)=0
Может быть, и получится. Физическая аналогия: подаём на последовательную RL-цепь переменное напряжение постоянной амплитуды, но всё более высокой частоты, амплитуда силы тока будет убывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение26.08.2016, 23:38 


12/11/13
89
svv в сообщении #1146865 писал(а):
Для контрпримера надо взять что-то вроде $u(t)=\sin(t^2)$

Да, похоже, что Вы правы. Если я не ошибся в расчётах, то для $y(t)=e^{-t}\sin(e^{t})$ и $\frac{d}{dt}y(t)=\cos(e^{t})-e^{-t}\sin(e^{t})$, откуда $u(t)=\cos(e^t)$. Интеграл квадрата $u(t)$ расходится, а интеграл квадрата $y(t)$ ограничен. Вроде верно. Но это такой специальный класс сигналов $u(t)$ с бесконечно нарастающей производной. А если мы предположим, что $\mathrm{ess}\sup \frac{d}{dt}u(t)$ ограничен, тогда как изменится решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение27.08.2016, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Arastas в сообщении #1146883 писал(а):
$\mathrm{ess}\sup \frac{d}{dt}u(t)$ ограничен
Разрывы $u(t)$ допускаются? Тогда берём функцию $\operatorname{sign}$ от прошлого контрпримера, получаем функцию, у которой производная почти всюду нулевая, и лишь в счётном множестве точек не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение29.08.2016, 10:31 


12/11/13
89
Да, тоже правильный пример.
1) Как бы мне так сформулировать требования к сигналу $u(t)$, чтобы допускать разрывы (например, меандр), но избежать примера с бесконечно нарастающей частотой?
2) Если допустить, что $\frac{d}{dt}u(t)$ строго ограничена, и в $u(t)$ нет разрывов, достаточно ли этого будет, чтобы утверждать, что интеграл квадрата $y(t)$ будет расходиться?
PS: У меня есть некоторый алгоритм, на вход которого подаётся $u(t)$. Известно, что если интеграл квадрата $u(t)$ расходится, то алгоритм будет работать. Теперь я хочу фильтровать этот входной сигнал и хочу понять, какие дополнительные требования мне надо наложить на сигнал $u(t)$, чтобы на выходе фильтра он тоже был не интегрируем с квадратом.

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение29.08.2016, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Arastas в сообщении #1147284 писал(а):
2) Если допустить, что $\frac{d}{dt}u(t)$ строго ограничена, и в $u(t)$ нет разрывов, достаточно ли этого будет, чтобы утверждать, что интеграл квадрата $y(t)$ будет расходиться?
Думаю, это требование уже «удушит» возможные контрпримеры, и да, интеграл квадрата $y(t)$ будет расходиться. Надо подумать над доказательством.

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение29.08.2016, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Чего-то меня на инженерный подход тянет, на использование равенства Парсеваля. Разложим $u(t)$ по частотам, и обратим внимание, что дифур описывает НЧ-фильтр. Вот если мощность в спектре убывает обратно пропорционально частоте, а после НЧ-фильтрации - быстрее, то может $y(t)\in \mathcal{L}_2$ при $u(t)\notin \mathcal{L}_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: не L2 сигнал на входе линейной системы
Сообщение29.08.2016, 15:15 


12/11/13
89
(тут был вопрос, но я сам на него ответил)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group