С инверсией тут не сложилось, ладно - кое-что прояснилось вроде.
Меня сейчас интересует обоснование некоторых деталей описания дираковских полей. Конкретно - перечисление величин, составленных из компонент двух биспиноров
и
.
1. В биспиноре две верхние компоненты имеют верхний непунктирный индекс, а две нижние - нижний пунктирный. Если взять, например, 4 том ЛЛ, то там про различие между этими индексами, конечно, сказано. Но потом - когда до дела доходит - то биспинор пишется просто в виде
. Собственно, меня тоже так и учили. А теперь захотелось мне индексную форму записи сохранить - и возник вопрос: а как в индексах выглядит биспинор
?
2. Дальше собираются величины типа
и иже с ними. Опять-таки, чтобы это получился скаляр группы Лоренца, свободных индексов остаться не должно. Сворачивать пунктирные индексы с непунктирными, естественно, запрещено. Так что в этом месте снова возникает вопрос №1. Но пойдём дальше - по старинке, без индексов. Появляется ещё и псевдоскаляр, 4-вектор и т.д. Хотелось бы не перебирать всё это наугад, а получить автоматически - из разложения Клебша-Гордана. Потому что есть два биспинора, каждый преобразуется по представлению
. Перемножаю эти два представления, применяю теорему Клебша-Гордана и нахожу две величины типа
, две величины типа
и величины типа
и
. Всё это, конечно, пока по отношению к собственной группе Лоренца - не к полной. Там ещё придётся скаляры - псевдоскаляры различать - но это всё понятно. Непонятна правильная формализация, чтобы все эти величины получились сами. Прямое произведение биспиноров брать, видимо, нельзя: оно превратится в прямые произведения входящих в них спиноров, а это вроде бы не то, что нужно. А как тогда по-другому?