Демидович Мат.индукция

[Orkimed]

Здравствуйте. Никак не получается решить 5 задание из Демидовича.
Само задание
$ a^{[n]}=a(a-h)\dots[a-(n-1)h] $
$a^{[0]}=1 $
Доказать, что
$(a+b)^{[n]}=\sum\limits_{m=0}^{n}C^{m}_{n}\cdot a^{[n-m]}\cdot b^{[m]}$
Вывести формулу Ньютона.
Пришлось даже посмотреть в Китайского Антидемидовича. Никак не могу понять как раскрывается эта степень в квадратных скобках.
В решении есть такая строчка
$ (a+b)^{[k+1]}= (a+b)^{[k]}\cdot (a+b-kh).$ Откуда здесь взялась вторая скобка?

[arseniiv]

Сравните:

$\begin{array}{lclcl} a^{[n+1]} & = & a(a-h)\cdots(a-(n-1)h) & \times &(a-nh), \\ a^{[n]} & = & a(a-h)\cdots(a-(n-1)h). & \end{array}$

[Orkimed]

arseniiv
Меня смутили квадратные скобки в разложении.
Зачем так странно определять степень? Или это не степень? Чисто искусственное задание?

[DeBill]

Orkimed в сообщении #1139730 писал(а):

Зачем так странно определять степень? Или это не степень? Чисто искусственное задание?

Зачем: удобно. Для сокращения записи - как и все прочие сокращения. И часто встречается. Называют ее "факториальная степень."
Примеры: $k$-я производная от $x^n$ равна $n^{[k]}\cdot x^{n-k}$.
Или: $n$-я производная от производящей функции (в нуле) случайной величины $\xi$ равна матожиданию от $\xi^{[n]}$...
Хороша для конечных разностей ...

[arseniiv]

Притом определением выше можно получить восходящую, нисходящую факториальные и обычную степени все разом, беря $h=-1,+1,0$ соответственно. Очень удобно, надо заметить! Убили всех зайцев, которые интересны, и даже ещё кучу других.

[Orkimed]

arseniiv
DeBill
Огромное спасибо за разъяснение. Теперь всё стало понятно. Почитаю дополнительно об этом, по-любому пригодится.

[arseniiv]

Можете тогда глянуть в «Конкретной математике» Кнута, Грэхема, Паташника. Там восходящая и нисходящая обозначаются $a^{\overline n},a^{\underline n}$. Отношения их к конечным разностям там тоже описываются.

[Orkimed]

У меня тут еще один вопрос возник из той же темы.
$ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{n}>\sqrt{n} $
Доказываю по индукции
$ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}} $
Дальше тупик. Что с этим делать?
Нашёл решение.Там предлагают воспользоваться свойством.
Пусть x и y - два действительных числа, таких, что $0 < x < y.$Тогда $\sqrt{x}<\sqrt{y}$
Доказательство
$0<x<y \Leftrightarrow 0<\frac{x}{y}<1 \Leftrightarrow 0<\sqrt{\frac{x}{y}}<1 \Leftrightarrow 0<\sqrt{x}<\sqrt{y}$
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}> \sqrt{k}+\frac{1}{k+1}=\\ \frac{\sqrt{k}\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}>\frac{\sqrt{k}\sqrt{k}+1}{\sqrt{k+1}}=\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}.$
У меня никак не получается сделать переход от
$\frac{\sqrt{k}\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}$ к $\frac{\sqrt{k}\sqrt{k}+1}{\sqrt{k+1}}$

[ewert]

Orkimed в сообщении #1140413 писал(а):

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}}$
Дальше тупик.

Что тупик -- что $\frac{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$ ?...

[SomePupil]

Вроде $\sqrt{k+1} > \sqrt k$, если ничего не напутал.

[Orkimed]

ewert
Они это делают опираясь на свойство. Но у меня никак не получается понять как они это делают.
$\frac{\sqrt{k}\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}$ к $\frac{\sqrt{k}\sqrt{k}+1}{\sqrt{k+1}}$

[arseniiv]

Там не просто переход, там левое больше правого. На эту тему есть замечательный пост:

SomePupil в сообщении #1140417 писал(а):

Вроде $\sqrt{k+1} > \sqrt k$, если ничего не напутал.

Потом умножаете это на всякие одинаковые штуки, прибавляете всякие штуки и делите на штуки.

[Orkimed]

arseniiv
Мои размышления таковы.
Основываясь на доказательстве свойства.
$k+1>k>0,$
$1>\frac{k}{k+1}>0$
$1>\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}>0$
$\sqrt{k+1}>\sqrt{k}>0$
Выношу и делаю коэффициента из$\frac{\sqrt{k}\cdot\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}$. Получаю $\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\cdot(\sqrt{k+1}+\frac{1}{\sqrt{k}})$
После умножения $\sqrt{k+1}>\sqrt{k}>0$ на этот коэффициента получается ересь.
Других способов я не знаю.

[arseniiv]

Начнём с $\sqrt{k+1} > \sqrt k$. Теперь умножьте обе части на $\sqrt k$, положительное число, и потому знак неравенства не поменяется. После этого прибавьте 1…

[Orkimed]

arseniiv
Спасибо. Прочитал еще раз и понял. Усложнил сильно. Суть в том, что не знал, что так можно делать. Не разу с таким не сталкивался.