Теорема о замыкании интервала.

[Rafael_Tal]

Здравствуйте! Хочу вот доказать одну простую теорему, да только не могу понять, насколько полно его доказательство.
Итак, вот задача — доказать, что замыкание интервала есть отрезок. Т.е. $\overline{(a;b)}=[a;b]$.
Я сначала подумал, что исходя из определения, замыкание предполагает добавление к исходному множеству его предельные точки ( то есть, границы интервала в данном случае).
Мы получаем в итоге закрытый с обеих сторон промежуток,чем по определению является отрезок.
Может я что-то упустил, может где-то нужно применить разбиение интервала, затем замыкание всех промежутков в разбиении, объединение затем всех промежутков, или что-то иное.
Вообще, напрашивается, правильно ли я доказываю?

[Otta]

Таким образом, решение задачи зависит от
1) как определялось замыкание,
2) аккуратного обоснования.

Если замыкание определялось как объединение множества предельных точек и самого множества, то все, что Вам нужно здесь - показать, что точки $a,b$ -- предельные для интервала. Аккуратно, по определению. Все.

Все остальные слова и размахивания руками - лишние.

Примечание: я взяла одно из возможных определений замыкания, в вашем курсе могло быть другое, сверьтесь и исходите из него.

[svv]

Rafael_Tal в сообщении #1139775 писал(а):

его предельные точки ( то есть, границы интервала в данном случае).

А Вы случайно не думаете, что предельные точки исходного множества — это только $a$ и $b$ ?

[iifat]

Otta в сообщении #1139778 писал(а):

все, что Вам нужно здесь - показать, что точки $a,b$ -- предельные для интервала

Таки добавлю: ещё отсутствие таковых вне отрезка.

[Otta]

Таки да. :)

[Rafael_Tal]

svv в сообщении #1139784 писал(а):

Rafael_Tal в сообщении #1139775 писал(а):

его предельные точки ( то есть, границы интервала в данном случае).

А Вы случайно не думаете, что предельные точки исходного множества — это только $a$ и $b$ ?

А какие еще предельные точки могут быть у данного множества?

[ewert]

Rafael_Tal в сообщении #1139914 писал(а):

А какие еще предельные точки могут быть у данного множества?

А что такое предельная точка?

[Rafael_Tal]

Точка Р называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки Р имеется, по крайней мере, ещё одна точка множества М, кроме точки Р.

[Mikhail_K]

Rafael_Tal в сообщении #1139986 писал(а):

Точка Р называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки Р имеется, по крайней мере, ещё одна точка множества М, кроме точки Р.

Ну вот и ответьте на свой вопрос, какие у интервала предельные точки, пользуясь определением, а не интуицией. Подсказка: ответ "только концы" неверный. Какие ещё есть точки на прямой, кроме концов? У каких из этих точек в любой окрестности найдётся то, что должно найтись по определению предельной точки?

[Rafael_Tal]

Ну предельными будут являться также же точки, находящиеся внутри интервала. Но они ведь уже добавлены к этому промежутку, зачем их тогда замыкать? Или скажете, что я неправ?
Начнем с начала, вот есть интервал $(a;b)$ И есть в нем точки, которые являются предельными — точки между $a$ и $b$, но они уже добавлены в промежуток, а точки граничные — нет. Ведь окрестность $(a-\delta;a+\delta)$ и $(b-\delta;b+\delta)$ ( где $\delta > 0$)этих концов пересекается с исходным множеством. Или я опять неправ?

[Someone]

Rafael_Tal в сообщении #1140083 писал(а):

Но они ведь уже добавлены к этому промежутку, зачем их тогда замыкать?

А кто предлагал их "замыкать"? Вопрос возник из-за вашей фразы

Rafael_Tal в сообщении #1139775 писал(а):

замыкание предполагает добавление к исходному множеству его предельные точки ( то есть, границы интервала в данном случае).

Которая вызывает подозрение, что Вы не знаете определения.

[ewert]

Rafael_Tal в сообщении #1140083 писал(а):

точки, находящиеся внутри интервала. Но они ведь уже добавлены к этому промежутку, зачем их тогда замыкать?

Незачем, Вы правы. Вообще ни одну точку замыкать нет смысла. К точкам это понятие просто не относится.

Что называется замыканием?...

-- Пн июл 25, 2016 21:56:50 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1140112 писал(а):

Которая вызывает подозрение, что Вы не знаете определения.

Как раз конкретно это подозрений не вызывает, ибо термин "замыкание" и впрямь несколько двусмыслен: это -- и процедура, и её результат.

[Rafael_Tal]

ewert в сообщении #1140113 писал(а):

Rafael_Tal в сообщении #1140083 писал(а):

точки, находящиеся внутри интервала. Но они ведь уже добавлены к этому промежутку, зачем их тогда замыкать?

Незачем, Вы правы. Вообще ни одну точку замыкать нет смысла. К точкам это понятие просто не относится.

Что называется замыканием?...

-- Пн июл 25, 2016 21:56:50 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1140112 писал(а):

Которая вызывает подозрение, что Вы не знаете определения.

Как раз конкретно это подозрений не вызывает, ибо термин "замыкание" и впрямь несколько двусмыслен: это -- и процедура, и её результат.

Замыкание множества — это добавление к множеству всех его предельных точек.

[Someone]

(ewert)

ewert в сообщении #1140113 писал(а):

Как раз конкретно это подозрений не вызывает, ибо термин "замыкание" и впрямь несколько двусмыслен: это -- и процедура, и её результат.

Человек написал: "…его предельные точки ( то есть, границы интервала…". Лично у меня возникло подозрение, что человек не знает, что такое предельная точка. О чём его и спросил некто ewert.

[Rafael_Tal]

Я так понял, что предельная точка — любая, у которой окрестность пересекается с данным множеством. Как таковых, не включенных в промежуток, точек у нас две: это $a$ и $b$. Если добавить в промежуток эти две точки, которые являются одними из предельных, то мы получаем промежуток, который по определению является отрезком??