Однозначность определения скалярного и векторного потенциала

[fronnya]

Читаю "Теорию электромагнетизма" Стрэттона. Чтобы подступиться к вопросу, начну с известных фактов. Рассматриваем однородную изотропную среду с соответствующими материальными уравнениями, а также с зарядами и токами.
В силу того, что $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$, мы можем представить его в виде ротора т.н. векторного потенциала: $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}_0$. Но так как $\nabla\times(\nabla\psi)=0$, где $\psi$, произвольная функция координат и времени, то можно определить векторный потенциал с точностью до градиента этой функции: $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$, где $\mathbf{A}=\mathbf{A}_0-\nabla\psi$.

Что касается скалярного потенциала, его можно получить, подставив выражение для $\mathbf{B}$ в уравнение $\nabla\times\mathbf{E}+\partial_t\mathbf{B}=0$. Получим $\nabla\times(\mathbf{E}+\partial_t\mathbf{A})=0$. Снова, из того, что ротор градиента равен нулю, выражение под знаком ротора равно градиенту т.н. скалярного потенциала $\varphi$, отсюда следует, что $\mathbf{E}=-\partial_t{\mathbf{A}}-\nabla\varphi$, при чем $\varphi=\varphi_0+\partial_t\psi$, где $\varphi_0$ удовлетворяет уравнению $\mathbf{E}=-\partial_t{\mathbf{A}}_0-\nabla\varphi_0$.
Таким образом, произвол выбора $\psi$ дает бесконечное множество скалярных и векторных потенциалов, которые при этом определяют одно и то же электромагнитное поле. Чтобы убрать произвол, накладывают на потенциалы условие, называемое калибровкой, вот известная всем калибровка Лоренца: $\nabla\cdot\mathbf{A}+\mu\varepsilon\partial_t\varphi=0$.
И здесь, я так понял, есть два пути:
1. Из калибровки для $\psi$ получается уравнение $\nabla^2\psi-\mu\varepsilon\partial_t^2\psi=\nabla\mathbf{A}_0+\mu\varepsilon\partial_t\varphi_0$, где $\mathbf{A}_0$ и $\varphi_0$ -- какие-либо частные решения системы уравнений: $\nabla^2\varphi+\nabla\cdot\partial_t\mathbf{A}=-\frac 1 \varepsilon \rho$ и $\nabla\times\nabla\times\mathbf{A}+\mu\varepsilon\nabla\partial_t\varphi+\mu\varepsilon\partial_t^2\mathbf{A}=\mu\mathbf{J}$ и таким образом, если мы найдем частное решение этой системы, то сможем найти $\psi$ и получим однозначное определение потенциалов. Либо второй путь.
2. Подставляя калибровку в указанную выше систему уравнений, получим два независимых уравнения для потенциалов:
$\nabla^2\varphi-\mu\varepsilon\partial_t^2\varphi=-\frac 1 \varepsilon \rho$ и
$\nabla^2\mathbf{A}-\mu\varepsilon\partial_t^2\mathbf{A}=-\mu\mathbf{J}$
и таким образом сразу найдем однозначные потенциалы.
Далее он переходит к частному случаю. Пусть в области нет токов и зарядов, при этом возможна ситуация, когда $\mathbf{A}_0=0$ и $\varphi_0=0$, тогда для $\psi$ получается уравнение такое же, как и для $\varphi$, при чем в той же области: $\nabla^2\psi-\mu\varepsilon\partial_t^2\psi=0$. Ну хорошо. Далее, так как $\psi$ и $\varphi$ удовлетворяют одному и тому же уравнению в одной и той же области, то $\psi$ можно выбрать так, чтобы $\varphi$ исчезло.
И тут вопрос. Почему это вдруг мы можем в данном случае выбирать $\psi$? Мы не можем его выбирать, мы должны решить уравнение, здесь же уже нет произвола, проведена ведь калибровка. Как это все понимать?

И ещё вопрос. На счет первого пути снятия произвола определения потенциалов: зачем он вообще нужен? Он ведь такой сложный.
Или я чего-то недопонял.

[Munin]

fronnya в сообщении #1138076 писал(а):

Чтобы убрать произвол, накладывают на потенциалы условие, называемое калибровкой, вот известная всем калибровка Лоренца: $\nabla\cdot\mathbf{A}+\mu\varepsilon\partial_t\varphi=0$.

Калибровка Лоренца - неполная калибровка, она убирает произвол частично, но не полностью. В то же время, она заметно упрощает некоторые формулы, поэтому популярна.

В остальном, вы заходите не с того конца. Представьте себе множество решений, удовлетворяющих уравнениям. Оно большое. Если вы будете решать уравнения, то вы получите любой элемент этого множества - или вообще никакой конкретно, поскольку в процессе решения нет никаких намёков, как выбрать один из них. И вот калибровка выделяет из этого множества подмножество (в частном случае, единственное решение). Теперь процесс решения становится проще, есть на что ориентироваться.

Там, где калибровка выполняется, некоторые уравнения эквивалентны другим уравнениям, например, волновое уравнение с токами в правой части - становится более простым. Таким образом, их можно заменять на упрощённые уравнения, и так решать (продолжая держать в уме выполнение калибровки). Но вне калибровки, эта замена перестаёт работать.

Если же у вас есть уже готовое решение, то можно наложить калибровку, и таким образом перейти к другому решению, найдя калибровочное преобразование. Но исходные уравнения (Максвелла) здесь уже не требуются, не играют никакой роли: они выполнятся автоматически, потому что им удовлетворяют и изначальное готовое решение, и калибровочное преобразование, вычисленное по правилам.

Доп. чтение:
Ландау, Лифшиц. Теория поля. § 18.
Рубаков. Классические калибровочные поля §§ 1.2-1.4.

[fronnya]

Munin, эх, это не так просто понять, как я ожидал. Мне бы порешать какие-нибудь конкретные примеры, чтобы понять, как это все работает.

[Munin]

Ну, возьмём точечный заряд. Электрическое поле вы там сразу скажете из закона Кулона. Но потенциал может быть не только таким, как гласит электростатика, но и каким-то другим. Например, возьмём для кулоновского поля $\mathbf{E}_c$ другой вариант: $\mathbf{A}=-\mathbf{E}_c t,\quad\varphi=0.$ Он выглядит неожиданно, но тоже вполне годится (вообще, преподаватели троллят студентов калибровкой $\varphi=0$). Проверьте подстановкой.

Теперь, если бы мы не знали кулоновского решения, а решали просто уравнения "от первых принципов", то мы бы и не знали, какой из двух вариантов выбрать. Помедитируйте над этим примером.

(И это не надуманная проблема. Например, для того же точечного заряда, но равномерно движущегося, двумя разными рассуждениями можно получить два разных потенциала, хотя вычисленные из них напряжённости полей будут совпадать, как положено.)

[fronnya]

Munin в сообщении #1138143 писал(а):

хотя вычисленные из них напряжённости полей будут совпадать, как положено

а разности потенциалов -- тоже?

(Оффтоп)

ну все, пошел медитировать

[Munin]

fronnya в сообщении #1138147 писал(а):

а разности потенциалов -- тоже?

Нет, конечно :-)
Но у потенциала $\varphi$ нет такого непосредственного физического смысла в электродинамике, как в электростатике. Он становится ненаблюдаемой величиной. Если вы будете измерять "разность потенциалов" по-старому, то измерите только всего лишь $\int_L\mathbf{E}\,d\mathbf{l}$ по какому-то пути, а то и ещё что похуже. По формулам видно, что вклад в эту величину дают не только $\varphi,$ но и $\mathbf{A}.$

[fronnya]

... ну да, это же электродинамика, забыл.