Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме

[SurovM]

Есть натуральная лагранжева система с одной степенью свободы. Лагранжиан задан в общем виде

$$L(x,\dot{x}) = a(x)\dot{x}^2 - b(x)$$

$a(x)$ -- положительно определённая функция.
Допустим, множество

$$U = \{x \in\mathbb{R} | b(x) < h \}$$

является компактным. Кажется очевидным, что любая траектория этой системы, выходящая из $U$ с нулевой скоростью является периодической (или положением равновесия). В какой книге по теормеху можно найти доказательство?

[Munin]

(Оффтоп)

SurovM в сообщении #1134724 писал(а):

или положением равновесия

Что тоже периодическая.

А чем не устраивает, скажем, ЛЛ-1 § 11?

[SurovM]

Munin не смог найти в этом параграфе ни одной теоремы. В этой книге, как и в большинстве других по механике строгого доказательства нет. Приводится поверхностный качественный анализ. Причём, для более простой системы с постоянной массой.

Есть статьи вроде этой Hayashi - periodic solutions of classical hamiltonian systems, но там рассматривается более широкий класс систем. Мне эти усложнения ни к чему. Здесь должна существовать какая-то очень простая теорема, это, должно быть, базовые вещи.

[Red_Herring]

Это утверждение просто неверно. Примет $a(x)=1$, а вот $b(x)$ гладкая и т.ч.

1) $b<0$ на $(-1,1)$ ;
2) $b(\pm 1)=0$, $b'(-1)<0$, $b'(1)=0$.

Тогда траектория, вышедшая из $-1$ с нулевой скоростью, при $t\to \pm \infty$ будет стремиться к $+1$, никогда ее не достигая

[Munin]

SurovM в сообщении #1134733 писал(а):

Причём, для более простой системы с постоянной массой.

Достаточно не вытаскивать массу из-под корня. В Медведеве приведена соответствующая формула

$$t-t_0=\pm\int\dfrac{dq}{\,\,\sqrt{\dfrac{2}{\,\,a(q)\,\,}\,(E-U(q))\,\,}\,\,}.$$

Red_Herring
Спасибо за контрпример!!!

[Red_Herring]

Ну и согласно это согласуется с контрпримером: если под корнем стоит $\asymp (q-q_0)^2$ , то интеграл разойдется. Физический пример: математический маятник у которого полная энергия равна потенциальной "на самом верху".

[Munin]

SurovM в сообщении #1134733 писал(а):

Munin не смог найти в этом параграфе ни одной теоремы. В этой книге, как и в большинстве других по механике строгого доказательства нет.

+1. Эти книги не для математиков, а для физиков.

Книг по механике для математиков я не знаю. Даже Арнольд - для физиков, по большому счёту. Боюсь, книга по механике для математиков - это такая заковыристость и экзотика (и в смысле редкости, и по содержанию), что на форуме "Физика" спрашивать об этом бесполезно.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1134751 писал(а):

Боюсь, книга по механике для математиков

думаю, такова была "Аналитическая механика" Лагранжа

[Munin]

Red_Herring
Да-да, я понял контрпример.

Ещё очень наглядный для физиков - это движение в перевёрнутом потенциале четвёртой степени $-\tfrac{\lambda}{4}q^4+\tfrac{\mu^2}{2}q^2.$ Или в потенциале $\sin q.$ Оно называется инстантонным (когда начинается на одном максимуме и заканчивается на другом при $t\to\pm\infty$).

-- 29.06.2016 22:09:04 --

Munin в сообщении #1134754 писал(а):

Или в потенциале $\sin q.$

А, собственно, это маятник и есть.

[SurovM]

2 Munin

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1134751 писал(а):

Книг по механике для математиков я не знаю.

Abraham - Fundamentals of mechanics, да и почти любая книга по неголономным системам.

-- 29.06.2016, 23:53 --

Red_Herring А если потенциальная энергия имеет единственный экстремум на $U$?

[Munin]

SurovM в сообщении #1134765 писал(а):

Red_Herring А если потенциальная энергия имеет единственный экстремум на $U$?

Вы имеете в виду, единственный минимум, и не имеет максимумов? Вроде с вашими условиями совместим только такой вариант.

Кстати, пример Red_Herring, если я правильно понимаю определение экстремума, как раз таков, если его обнулить вне $(-1,+1).$

Да и даже если не обнулять, а просто взять соответствующий полином 4-й степени, с "рогами" вверх за пределами этого интервала.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1134775 писал(а):

SurovM в сообщении #1134765 писал(а):

Red_Herring А если потенциальная энергия имеет единственный экстремум на $U$?

Вы имеете в виду, единственный минимум, и не имеет максимумов? Вроде с вашими условиями совместим только такой вариант.

Нет, в точке, в которую решение стремится д.б. $b'=0$, что влючaет и перегиб. Главное, чтоб интеграл расходился

[Munin]

Вот я путаюсь. Глядя в Википудию (и помня, насколько это мусорка), я так подумал, что точка перегиба - это стационарная точка, но не экстремум (а экстремум $\stackrel{\mathrm{def}}{=}$ минимум $\vee$ максимум).

[Red_Herring]

Вообще то говоря, перегиб не обязательно стационарная точка, а точка, в которой вторая производная меняет знак (т.е. с одной стороны ф-я выпукла, а с другой вогнута). Что не исключает стационарной точки, которая также и точка перегиба--о ней и идет речь здесь.

[Munin]

Пардон.

Читать "точка, в которой $f'=0,f''=0,$ а в выколотой окрестности которой $f'\ne 0,f''\ne 0$".

Что-то я совсем закосноязычел. Прошу прощения.