Путаница с координатами

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Я запутался с простыми вещами, прошу помочь мне разобраться.
Путаница возникла с тех пор, как начал читать анализ Лорана Шварца.

Пусть есть $A^n$ -- аффинное евклидово пространство, $a, e_1, \ldots, e_n$ -- начало и какой-нибудь базис (не обязательно ортогональный). Каждый элемент $x \in A^n$ можно представить в виде $x = a + \sum_{i=1}^n x_k e_k$. Далее, по моему разумению, есть такие две возможности:
1. Как только начало и базис выбраны, то элементы $x \in A^n$ мы можем обозначать как $(x_1, \ldots, x_n)$, не считая, что этот набор есть из $\mathbb{R}^n$. Так что если есть какая-нибудь функция $f : A^n \rightarrow \mathbb{R}$, то мы, подставляя $x \in A^n$, можем писать $f(x_1, \ldots, x_n)$. При этом частное дифференцирования по $x_1$, к примеру, есть производная вдоль базисного вектора $e_1$: $\frac{\partial f}{\partial x_1} := \frac{\partial f}{\partial e_1}$, что очень удобно получается из определений.
2. Если мы хотим работать с точкой $x \in A^n$ через ее координаты в выбранном базисе (т.е. писать $(x_1, \ldots, x_n)$), то мы каждый раз строим изоморфизм между $A^n$ и $\mathbb{R}^n$. Тогда, если мы хотим в функцию $f : A^n \rightarrow \mathbb{R}$ подставлять набор координат, то мы на самом деле рассматриваем тогда отображение $f J : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, где $J$ есть изоморфизм между $A^n$ и $\mathbb{R}^n$ (определенный через выбранный базис в $A^n$ и канонический базис в $\mathbb{R}^n$). И верно ли тогда, что $\frac{\partial fJ}{\partial x_1} = \frac{\partial f}{\partial e_1}$ (и тут не пойму).
Второй способ, насколько я понимаю, является частным случаем рассмотрения $A^n$ как гладкого многообразия с одной картой (т.е. с $J$). Но первый способ мне кажется удобнее, хоть он и не распространяется на многообразия.

Не могу понять, как тогда принято? В учебниках по мат. анализу, которые я открывал, фиксируют базис в $\mathbb{R}^n$ и только с ним и работают.

[Brukvalub]

Полагаю. что ответ на ваш вопрос кроется в определении вот этого объекта:

Grabovskiy в сообщении #1133748 писал(а):

Пусть есть $A^n$ -- аффинное евклидово пространство

Напишите здесь точное его определение, тогда появится возможность разобраться.

[Grabovskiy]

Brukvalub в сообщении #1133785 писал(а):

Полагаю. что ответ на ваш вопрос кроется в определении вот этого объекта:

Grabovskiy в сообщении #1133748 писал(а):

Пусть есть $A^n$ -- аффинное евклидово пространство

Напишите здесь точное его определение, тогда появится возможность разобраться.

Тройка $(A,V,\varphi)$, где $A$ -- множество, $V$ -- векторное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, $\varphi:A\times A \rightarrow V$ -- отображение, удовлетворяющее условиям:
1. Для любой точки $a \in A$ отображение $\varphi(a,\cdot)$ есть биекция;
2.$ \varphi(a,b) + \varphi(b,c) + \varphi(c,a) = 0$ для любой тройки $a,b,c \in A$
называется аффинным пространством.
Если в векторном пространстве $V$ введена евклидова структура, то в $A$ можно определить метрическую структуру, положив
$\rho(x,y) := \| \varphi(x,y) \| $.
В таком случае аффинное пространство называется евклидовым.

[Brukvalub]

Осталось понять, какой смысл вы вкладываете в обозначение $R^n$. Это аффинное пространство?

[Grabovskiy]

Brukvalub в сообщении #1133800 писал(а):

Осталось понять, какой смысл вы вкладываете в обозначение $R^n$. Это аффинное пространство?

Пусть это будет евклидовым пространством с базисом $(1,0, \ldots, 0), \ldots, (0,0,\ldots,1)$, а изоморфизмы между $A^n$ и $\mathbb{R}^n$ понимать как изоморфизмы аффинных евклидовых структур (т.к., если считать $\mathbb{R}^n$ евклидовым, то оно подавно и аффинно евклидово с самим собой в качестве присоединенного пространства).

Наверное, у меня в обоих случаях неправильная идеология. Возможно, если бы на моей специальности была диф. геометрия, то вопроса бы не возникло.

[Brukvalub]

1. Вот теперь попробуйте заново переосмыслить ваш вопрос с учетом того, что изоморфными могут быть только две одинаковые алгебраические структуры, скажем, два евклидовых аффинных пространства, два поля и т.п.
2. Что еще непонятно: с какой целью вы наводите этот "аццкий" "бурбакистский глянец? Разве он когда-нибудь кому-нибудь реально помог осмыслить и прочувствовать, как работать с объектами?

[Munin]

Grabovskiy в сообщении #1133748 писал(а):

Но первый способ мне кажется удобнее, хоть он и не распространяется на многообразия.

Может, в этом всё и дело? Анализ в векторных пространствах и анализ на многообразиях - сильно разные по сложности науки, так что в одном принято одно (для простоты), в другом - другое (по необходимости).