Пересечение над объединением

[vlad_light]

У меня сразу 2 вопроса связанных с пересечением над объединением. Пусть есть измеримое пространство $(X, \mathcal F, \lambda )$ и задана функция:

$$\mu (A, B) = \frac {\lambda (A\cap B)}{\lambda (A\cup B)},\, A, B\in \mathcal F$$

1. Можно ли найти функцию $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ такую, что $(\mathcal X \subseteq \mathcal F, \mu \circ f)$ -- метрическое пространство? Есть подозрение, что $f(x) = -\log x$ должно подойти.
2. Если $X$ -- множество прямоугольников и $R \in X$, как найти прямоугольник, который имеет наибольшее $\mu$ с $R$ при условии, что центр этого прямоугольника лежит в некотором (другом) прямоугольнике? Т.е. решить задачу оптимизации

$$ \begin{cases} \mu (Q, R) \to \max \\ (Q_x, Q_y) \in P \end{cases} $$

где $R, P$ -- заданы и $P\subset R$. Я подозреваю, что решением будет самый большой $Q$ (по площади), который лежит в $R$. Но как это доказать?

[Brukvalub]

vlad_light в сообщении #1131559 писал(а):

Есть подозрение, что $f(x) = -\log x$ должно подойти.

А чему равен логарифм нуля?

[vlad_light]

бесконечности

[Brukvalub]

А разве в определении метрического пространства разрешены бесконечные расстояния между его элементами?

[demolishka]

Даже если факторизовать сигма-алгебру, чтобы не было возможных проблем с невырожденностью метрики, невыполнение на ясно каких множествах неравенства треугольника (для случае нетривиальной метрики) все равно останется.

[vlad_light]

demolishka в сообщении #1131582 писал(а):

Даже если факторизовать сигма-алгебру, чтобы не было возможных проблем с невырожденностью метрики, невыполнение на ясно каких множествах неравенства треугольника (для случае нетривиальной метрики) все равно останется.

Подскажите, пожалуйста, пример.

[Brukvalub]

vlad_light в сообщении #1131559 писал(а):

Я подозреваю, что решением будет самый большой $Q$ (по площади), который лежит в $R$. Но как это доказать?

Пусть искомый прямоугольник имеет часть, выходящую за границы $R$. Как изменится целевая функция, если удалить касок этой "выступающей" за границы $R$ части?

-- Вт июн 14, 2016 19:18:07 --

vlad_light в сообщении #1131587 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, пример.

Чтобы найти пример, нужно сначала разобраться со строением функции $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$. Например, если множества совпадают, то какое значение принимает функция $ \mu (A, B) $ и что это означает для функции $f$ ?

[demolishka]

vlad_light в сообщении #1131587 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, пример.

На самом деле я перестарался с "на ясно каких множествах". В общем, если факторизация $\mathcal{X}$ в условии не предполагалась, то (в случае нетривиальной сигма-алгебры) для всех $f$ не выполняется условие невырожденности метрики. Если все-таки профакторизовать, то можно задать метрику, порождающую дискретную топологию. Можно ли как-то иначе --- вопрос интересный (в частности для $X=[0;1]$ с мерой Лебега).

[Sinoid]

vlad_light в сообщении #1131576 писал(а):

бесконечности

А вы проверьте. А логарифм натуральный?

[vlad_light]

Brukvalub в сообщении #1131593 писал(а):

Пусть искомый прямоугольник имеет часть, выходящую за границы $R$. Как изменится целевая функция, если удалить касок этой "выступающей" за границы $R$ части?

Не совсем понимаю, что это даст... Пусть $P$ старый прямоугольник, $P\subset Q $ -- новый. Если мы обрежем то, что вылазит, то целевая функция увеличится на $\lambda ((Q\setminus P)\cap R)$.

Brukvalub в сообщении #1131593 писал(а):

Чтобы найти пример, нужно сначала разобраться со строением функции $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$. Например, если множества совпадают, то какое значение принимает функция $ \mu (A, B) $ и что это означает для функции $f$ ?

Я думаю, что $f\in C^1([0, 1]\to [0, \infty])$, $f(1) = 0$ и $f' < 0$ должно быть достаточно.

Sinoid в сообщении #1131624 писал(а):

А вы проверьте. А логарифм натуральный?

Да, натуральный. Проверил -- действительно бесконечность.

[Brukvalub]

vlad_light в сообщении #1131559 писал(а):

Но как это доказать?

vlad_light в сообщении #1131765 писал(а):

Если мы обрежем то, что вылазит, то целевая функция увеличится

[vlad_light]

К сожалению, не понимаю :( Нам ведь нужно найти максимум целевой функции. Если обрезать, то числитель увеличится, а знаменатель (скорее всего) останется таким же. При этом, если оставить всё как есть, то и числитель, и знаменатель увеличатся, и кто из них будет расти быстрее -- понять не могу.

[Sinoid]

vlad_light в сообщении #1131765 писал(а):

Да, натуральный. Проверил -- действительно бесконечность.

Что-то я недопонимаю. Я, конечно, в топологии и, на всякий случай, в линейном программировании пока полный ноль, но все же. Значит, вы утверждаете, что $\operatorname{ln}0=\infty$? (Ну, естественно, через предельный переход)

[vlad_light]

Да, с точностью до знака

[Sinoid]

А тогда $e^{\infty}$ чему равно?

-- 15.06.2016, 19:20 --

Или это я что-то не то пишу: и Brukvalub на мое замечание не отреагировал. Но с точки зрения общности, ИМХО, не проходит.