Нормальность упорядоченных множеств

[Anton_Peplov]

ikozyrev в сообщении #1126219 писал(а):

просто хочу понять как это работает в случае упорядоченных пространств и порядковых топологий на них.

А в чем проблема?

[ikozyrev]

Anton_Peplov в сообщении #1126221 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1126219 писал(а):

просто хочу понять как это работает в случае упорядоченных пространств и порядковых топологий на них.

А в чем проблема?

Проблема в том что не могу понять с какой стороны вообще подойти вот к этому:


Пытаюсь построить $Z$, хотя бы для примера данного в книжке, например если возьмем $Z=[-1;0)\cup (0;-1]$ то $Y$ будет замнутым в $Z$, но будет ли $Z$ упорядоченным подпространством $X$?

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1126226 писал(а):

но будет ли $Z$ упорядоченным подпространством $X$?

Проверьте, что множества вида $\{z\in Z:z>a\}$ и $\{z\in Z:z<b\}$, где $a\in Z$ и $b\in Z$, образуют предбазу топологии пространства $Z$, индуцированной топологией пространства $X$.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1126232 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1126226 писал(а):

но будет ли $Z$ упорядоченным подпространством $X$?

Проверьте, что множества вида $\{z\in Z:z>a\}$ и $\{z\in Z:z<b\}$, где $a\in Z$ и $b\in Z$, образуют предбазу топологии пространства $Z$, индуцированной топологией пространства $X$.

Извиняюсь за долгий ответ - была срочная командировка.
Да, эти множества образуют указанную предбазу, так как их пересечением будет набор открытых интервалов в $[-1,1]$, а так как топология $X$ - это семейство всех открытых интервалов в $[-1,1]$ то это набор будет подмножеством этого семейства, а значит выполняется условие индуцированной топологии.

То есть мой пример корректен?

[Someone]

Вообще-то, речь шла о $Z=[-1,0)\cup(0,1]$.
И хотелось бы видеть доказательство, а не просто заявление.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1130063 писал(а):

Вообще-то, речь шла о $Z=[-1,0)\cup(0,1]$.
И хотелось бы видеть доказательство, а не просто заявление.

Пусть $X=\mathbb{R}\cap[-1,1]$ - упорядоченное пространство и $\tau$ - его интервальная топология, а $Z=[-1,0)\cap(0,1]$ - подмножество $X$. Тогда $\tau$ содержит всевозможные интервалы $U_x=(a,b): a\in X, b\in X, a<b$, и они же образуют базу $X$. Тогда $\{U_x\cap Z| U_x\in \tau\} = \tau_z$ - является индуцированной топологией из $X$. Очевидно, что любое такое множество $U_x\cap Z$ - это пересечение множеств вида $\{z\in Z : z>a\}$ и $\{z\in Z : z<b\}$, где $a\in Z, b\in Z$, то есть эти множества образуют предбазу $\tau_z$, а следовательно $Z$ - подпространство $X$ с индуцированной из него топологией.

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1130294 писал(а):

$X=\mathbb{R}\cap[-1,1]$

Э-э-э… А зачем тут $\mathbb{R}$?

ikozyrev в сообщении #1130294 писал(а):

Тогда $\tau$ содержит всевозможные интервалы $U_x=(a,b): a\in X, b\in X, a<b$, и они же образуют базу $X$.

Неверно. Например, $[-1,0)$ не является интервалом такого вида и не является объединением интервалов такого вида.

ikozyrev в сообщении #1130294 писал(а):

Очевидно, что любое такое множество $U_x\cap Z$ - это пересечение множеств вида $\{z\in Z : z>a\}$ и $\{z\in Z : z<b\}$, где $a\in Z, b\in Z$

Как Вы получите интервал $(0,1)$?

Собственно, Вы неправильно берётесь за доказательство. Надо вспомнить определения предбазы и базы топологии и действовать в соответствии с этими определениями.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1130317 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1130294 писал(а):

$X=\mathbb{R}\cap[-1,1]$

Э-э-э… А зачем тут $\mathbb{R}$?

Чтобы подчеркнуть что мы имеем дело с отрезком вещественной прямой. Я встречал такую нотацию у Александрова.

Цитата:

ikozyrev в сообщении #1130294 писал(а):

Тогда $\tau$ содержит всевозможные интервалы $U_x=(a,b): a\in X, b\in X, a<b$, и они же образуют базу $X$.

Неверно. Например, $[-1,0)$ не является интервалом такого вида и не является объединением интервалов такого вида.

Так ведь $[-1,0)$ не является открытым множеством в $X$? А значит это множество не входит в $\tau$.

Цитата:

ikozyrev в сообщении #1130294 писал(а):

Очевидно, что любое такое множество $U_x\cap Z$ - это пересечение множеств вида $\{z\in Z : z>a\}$ и $\{z\in Z : z<b\}$, где $a\in Z, b\in Z$

Как Вы получите интервал $(0,1)$?

$a=0, b=1$

Цитата:

Собственно, Вы неправильно берётесь за доказательство. Надо вспомнить определения предбазы и базы топологии и действовать в соответствии с этими определениями.

Да вроде все в соотвествии с определениями. Предбаза - набор открытых множеств, пересечение некоторых из них дает любое из базы. А база - набор открытых, сумма некоторых из них дает любое открытое из пространства.

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1130336 писал(а):

Чтобы подчеркнуть что мы имеем дело с отрезком вещественной прямой. Я встречал такую нотацию у Александрова.

Где?

ikozyrev в сообщении #1130336 писал(а):

Так ведь $[-1,0)$ не является открытым множеством в $X$?

Как это — "не является"? А какие же тогда окрестности у точки $-1$ в пространстве $X=[-1,1]$?

ikozyrev в сообщении #1130336 писал(а):

Да вроде все в соотвествии с определениями. Предбаза - набор открытых множеств, пересечение некоторых из них дает любое из базы. А база - набор открытых, сумма некоторых из них дает любое открытое из пространства.

Ну так Вы не проверили, что указанные Вами семейства являются базой или предбазой. Только декларировали. Нарпимер, Вы утверждаете, что

ikozyrev в сообщении #1130294 писал(а):

всевозможные интервалы $U_x=(a,b): a\in X, b\in X, a<b$ … образуют базу $X$.

Множество $X$ является открытым в пространстве $X$. Является ли оно объединением указанных Вами интервалов?

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1130342 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1130336 писал(а):

Чтобы подчеркнуть что мы имеем дело с отрезком вещественной прямой. Я встречал такую нотацию у Александрова.

Где?

Попытался найти, но теперь уже не вспомню где. Но наверное действительно это лишнее.

ikozyrev в сообщении #1130336 писал(а):

Так ведь $[-1,0)$ не является открытым множеством в $X$?

Как это — "не является"? А какие же тогда окрестности у точки $-1$ в пространстве $X=[-1,1]$?

Согласен, это я не додумал. Но как же тогда определить порядковую топологию в $X$? У Александрова написано: "рассмотрим какое-либо упорядоченное множество и определим открытые множества в нем, как множества, являющиеся суммами порядковых интервалов, взятых в любом числе". Как я понял порядковый интервал - это интервал вида $(a,b)$ где $a<b$? или же порядковый инетрвал может быть $[a,b]$?

-- 09.06.2016, 18:43 --

Тогда получается что топология $X$ -это не только все открытые интервалы, но и полусегменты вида $[-1;a)$, $(b;1]$ и сегмент $[-1;1]$?

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1130347 писал(а):

Но как же тогда определить порядковую топологию в $X$?

Через предбазу: её образуют всевозможные множества видов $\{x\in X:x<b\}$ и $\{x\in X:x>a\}$, где $a\in X$ и $b\in X$. Иногда такие множества записывают как интервалы $(-\infty,b)$ и $(a,+\infty)$, считая, что $-\infty$ меньше всех элементов $X$, а $+\infty$ — больше. Но в обсуждаемом нами случае использование этих обозначений нежелательно, так как приведёт к двусмысленностям и путанице, поскольку речь идёт о подмножествах числовой прямой. Лучше использовать обозначения $[-1,b)$ и $(a,1]$.

Разумеется, можно указать сразу базу: все интервалы $(a,b)$, где $-1\leqslant a<b\leqslant 1$, плюс указанные выше полуинтервалы.

ikozyrev в сообщении #1130347 писал(а):

У Александрова написано: "рассмотрим какое-либо упорядоченное множество и определим открытые множества в нем, как множества, являющиеся суммами порядковых интервалов, взятых в любом числе".

Пожалуйста, когда ссылаетесь на какой-нибудь источник, указывайте точное место, чтобы ваши собеседники имели возможность найти это место. Без этого я не могу сказать, что имеет место: то ли у Александрова небрежно сформулировано, то ли Вы что-то не так поняли.

ikozyrev в сообщении #1130347 писал(а):

Как я понял порядковый интервал - это интервал вида $(a,b)$ где $a<b$? или же порядковый инетрвал может быть $[a,b]$?

Могут быть всякие варианты терминологии. Если Вы дадите точную ссылку на источник, я посмотрю, что там.

ikozyrev в сообщении #1130347 писал(а):

Тогда получается что топология $X$ -это не только все открытые интервалы, но и полусегменты вида $[-1;a)$, $(b;1]$ и сегмент $[-1;1]$?

Да. Только это не вся топология, а только её база.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1130364 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1130347 писал(а):

У Александрова написано: "рассмотрим какое-либо упорядоченное множество и определим открытые множества в нем, как множества, являющиеся суммами порядковых интервалов, взятых в любом числе".

Пожалуйста, когда ссылаетесь на какой-нибудь источник, указывайте точное место, чтобы ваши собеседники имели возможность найти это место. Без этого я не могу сказать, что имеет место: то ли у Александрова небрежно сформулировано, то ли Вы что-то не так поняли.

Привожу точную читату (стр. 102):

ikozyrev в сообщении #1130347 писал(а):

Как я понял порядковый интервал - это интервал вида $(a,b)$ где $a<b$? или же порядковый инетрвал может быть $[a,b]$?

Могут быть всякие варианты терминологии. Если Вы дадите точную ссылку на источник, я посмотрю, что там.

ikozyrev в сообщении #1130347 писал(а):

Тогда получается что топология $X$ -это не только все открытые интервалы, но и полусегменты вида $[-1;a)$, $(b;1]$ и сегмент $[-1;1]$?

Да. Только это не вся топология, а только её база.

Да, вся топология будет объединением всевозможных множеств из базы.

-- 12.06.2016, 12:55 --

Someone в сообщении #1126232 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1126226 писал(а):

но будет ли $Z$ упорядоченным подпространством $X$?

Проверьте, что множества вида $\{z\in Z:z>a\}$ и $\{z\in Z:z<b\}$, где $a\in Z$ и $b\in Z$, образуют предбазу топологии пространства $Z$, индуцированной топологией пространства $X$.

Тогда получается что это утверждение неверно?
Потому что если мы возьмем открытое множество $[-1;0)$ из базы $X$, то как тогда мы сможем подобрать $a$ и $b$ чтобы пересечение множеств $\{z\in Z:z>a\}$ и $\{z\in Z:z<b\}$, где $a\in Z$ и $b\in Z$, давало бы $[-1;0)$?

[ikozyrev]

Кажется разобрался. Из предбазы можно брать одно множетсво, и врезультате получится $[-1;0)$.

Тогда доказательство строится так:
Возьмем любое открытое множество в $Z$ из его базы ${U_z: u_z\in Z, \{u_z>a, u_z<b\}\wedge \{u_z\geqslant -1,u_z<b\}\wedge \{u_z>a, u_z\leqslant 1\}\wedge \{u_z\geqslant -1, u_z\leqslant 1\}}$.
Тогда это множество очевидно может быть представлено в виде пересечения множеств $\{z\in Z:z>a\}$ и $\{z\in Z:z<b\}$, где $a\in Z$ и $b\in Z$, а значит эти множества являются предбазой индуцированной из $X$ топологии $Z$

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1130969 писал(а):

Привожу точную читату (стр. 102):

Изображение не вижу. Но книга у меня есть, достаточно было бы указать точное место и процитировать нужный текст. Похоже, что здесь Павел Сергеевич действительно был не совсем аккуратен (но быть совсем аккуратным всегда, боюсь, весьма затруднительно).

(Оффтоп)

Вы неправильно обращаетесь с цитатами. Не надо вставлять свой ответ внутрь цитаты. Цитируйте только тот фрагмент сообщения, на который отвечаете. Цитировать сообщение полностью без явной необходимости тоже не следует, это рассматривается как нарушение правил (избыточное цитирование).

ikozyrev в сообщении #1130969 писал(а):

Потому что если мы возьмем открытое множество $[-1;0)$ из базы $X$, то как тогда мы сможем подобрать $a$ и $b$ чтобы пересечение множеств $\{z\in Z:z>a\}$ и $\{z\in Z:z<b\}$, где $a\in Z$ и $b\in Z$, давало бы $[-1;0)$?

Никак. Потому что $0\notin Z$. Не поможет и

ikozyrev в сообщении #1130984 писал(а):

Из предбазы можно брать одно множетсво, и врезультате получится $[-1;0)$.

Хотя, конечно, брать одно множество из предбазы можно.

ikozyrev в сообщении #1130984 писал(а):

Возьмем любое открытое множество в $Z$ из его базы ${U_z: u_z\in Z, \{u_z>a, u_z<b\}\wedge \{u_z\geqslant -1,u_z<b\}\wedge \{u_z>a, u_z\leqslant 1\}\wedge \{u_z\geqslant -1, u_z\leqslant 1\}}$.
Тогда это множество очевидно может быть представлено в виде пересечения множеств $\{z\in Z:z>a\}$ и $\{z\in Z:z<b\}$, где $a\in Z$ и $b\in Z$, а значит эти множества являются предбазой индуцированной из $X$ топологии $Z$

Что-то сильно мудрёное и неубедительное, поскольку опять содержит одни декларации.

Ладно, подскажу дальше.
Базой пространства $X=[-1,1]$ является набор множеств видов $[-1,b)$ (где $-1<b\leqslant 1$), $(a,1]$ (где $-1\leqslant a<1$) и $(a,b)$ (где $-1\leqslant a<b\leqslant 1$). (Базу топологии подпространства $Z=[-1,0)\cup(0,1]\subset X$ образуют пересечения множеств трёх перечисленных видов с $Z$.)
С другой стороны, базу порядковой топологии на множестве $Z$ образуют множества тех же трёх видов, из которых нужно исключить точку $0$, с тем дополнительным ограничением, что $a\neq 0$ и $b\neq 0$ (в общем, $0$ не может быть на конце, а если он попадает внутрь, то получаются множества $[-1,0)\cup(0,b)$, $(a,0)\cup(0,1]$, $(a,0)\cup(0,b)$).
Возьмём любую точку $x_0\in Z$, и пусть $U\subseteq Z$ — открытое (в топологии подпространства) множество, содержащее точку $x_0$. По определению топологии подпространства, существует такое множество $\tilde U\subseteq X$, что $\tilde U\cap Z=U$. По определению базы топологии, существует такое базисное множество $V\subseteq X$, что $x_0\in V\subseteq\tilde U$.
Теперь нужно рассмотреть возможные виды множества $V$ и расположения точки $x_0$ в нём, и для каждого случая указать множество $W$, принадлежащее базе порядковой топологии множества $Z$, удовлетворяющее условию $x_0\in W\subseteq V$.
Это даёт доказательство того, что множество, открытое в топологии подпространства, будет открытым и в порядковой топологии. Обратное, на мой взгляд, тривиально, но Вы всё-таки аккуратно посмотрите. В результате у Вас получится доказательство того, что топология подпространства в данном случае совпадает с порядковой топологией.
И обязательно нужно посмотреть, почему эти рассуждения не проходят для $Z_1=[-1,0)\cup\{1\}$.

[ikozyrev]

Цитата:

Похоже, что здесь Павел Сергеевич действительно был не совсем аккуратен (но быть совсем аккуратным всегда, боюсь, весьма затруднительно).

Вот это меня сильно и запутало...
Но сейчас вроде я с Вашей помощью разобрался наконец что такое порядковая топология.

Цитата:

Никак. Потому что $0\notin Z$.

Но тогда получается что эти множества не являются предбазой топологии $Z$?

Цитата:

Возьмём любую точку $x_0\in Z$

А зачем нам эта точка? Нельзя ли так:
База топология подпространства $Z=[-1,0)\cup(0,1]\subset X$ - это пересечение множеств вида $[-1,b)$ (где $-1<b\leqslant 1$), $(a,1]$ (где $-1\leqslant a<1$) и $(a,b)$ (где $-1\leqslant a<b\leqslant 1$ с $Z$, а так как только точка $0$ не входит в $Z$ из всех этих множеств, то тогда эта база будет равна $[-1,0)\cup(0,b)$, $(a,0)\cup(0,1]$, $(a,0)\cup(0,b)$, что и есть база порядковой топологии на множестве $Z$. А раз совпадают базы, то совпадают и сами топологии.

Цитата:

И обязательно нужно посмотреть, почему эти рассуждения не проходят для $Z_1=[-1,0)\cup\{1\}$

Ну у Александрова это как раз объяснено (стр 171, 2-ой абзац сверху. Хоть там и дана точка {-1}, сути дела это не меняет).