Задача на конечно порожденные группы

[LubovZ]

1. Группа конечна тогда и только тогда, когда она имеет конечное число подгрупп.
----
Как я думаю необходимо использовать циклические группы.

Пусть в группе А существуют $A_1, ..., A_n$- циклические подгруппы.(т.к. любая группа всегда содержит циклические подгруппы)
Циклические подгруппы имеют конечный или бесконечный порядок: каким образом это рассмотреть не знаю.
Если циклические подгруппы имеют конечный порядок, то группа А является периодической группой$\Rightarrow$ А является прямой суммой р-групп(по теореме)$\Rightarrow$ существует элемент g максимального порядка $p^k$$\Rightarrow$ <g> прямое слагаемое группы А.
Дальше надо как-то перейти к тому, что циклические группы имеют порядки равные степеням простых чисел, рассмотреть прямую сумму конечных циклических групп.

Мне кажется, что я как-то неправильно пытаюсь доказать.

[DeBill]

LubovZ в сообщении #1125129 писал(а):

я думаю необходимо использовать циклические группы.

Это - хорошо. И вот сразу вопрос: а может ли у Вас получиться циклическая бесконечного порядка???

[LubovZ]

DeBill в сообщении #1125132 писал(а):

LubovZ в сообщении #1125129 писал(а):

я думаю необходимо использовать циклические группы.

Это - хорошо. И вот сразу вопрос: а может ли у Вас получиться циклическая бесконечного порядка???

вроде да, если циклическая группа изоморфна $\mathbb{Z}$

[DeBill]

LubovZ в сообщении #1125138 писал(а):

циклическая группа изоморфна $\mathbb{Z}$

Дык у неё же до хрена много подгрупп!