Expression value - easy but nice

[ins-]

Let $a$, $b$, $c$ are real numbers such that:
$\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{1}{2}$,
$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{3}{4}$
Find the value of the following expression:
$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}$.

[12d3]

$\displaystyle{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} = \frac{(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(c+a)(a+b)+(c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=}$
$\displaystyle{=\frac{((a-b)ab+(a-b)c(a+b+c))+((b-c)bc+(b-c)a(a+b+c))+((c-a)ca+(c-a)b(a+b+c))}{(a+b)ab+(b+c)bc+(c+a)ca+2abc}=}$
$\displaystyle{= \frac{(a-b)ab+(b-c)bc+(c-a)ca+(ac-bc+ba-ca+cb-ab)(a+b+c)}{(a+b)ab+(b+c)bc+(c+a)ca+2abc}=}$
$\displaystyle{ = \frac{(a-b)ab+(b-c)bc+(c-a)ca}{(a+b)ab+(b+c)bc+(c+a)ca+2abc} = \frac{\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}}{\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}+2} = \frac{2}{11}}$

[StaticZero]

Вычтем из нижнего равенства верхнее:

$$\dfrac{2a}{b} + \dfrac{2b}{c} +\dfrac{2c}{a} = \dfrac{1}{4},$$

теперь сложим их:

$$\dfrac{2b}{a} +\dfrac{2a}{c} + \dfrac{2c}{b} = \dfrac{5}{4}.$$

Перейдём к другим переменным:

$$x = \dfrac{c}{a}, \qquad y = \dfrac{b}{c}, \qquad z = \dfrac{a}{b}$$

в которых требуемое выражение приобретёт вид

$$\Theta = 3 - 2 \left(\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y} + \dfrac{1}{1 + z}\right),$$

так как для любых $x$, $y$ выполнено

$$\cfrac{x - y}{x + y} = \cfrac{x + y - 2y}{x + y} = 1 - \cfrac{2}{1 + \cfrac{x}{y}}.$$

Переписывая известные равенства, имеем полную систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y+z &=& 1/8, \\ 1/x + 1/y + 1/z &=& 5/8 \\ xyz &=& 1. \end{array} \right.$$

Перемножив последние два уравнения, определим

$$xy + xz + yz = 5/8. $$

Найдём числитель и знаменатель выражения в скобках. Приведением к общему знаменателю легко убедиться, что числитель равен

$$1 + x + y + xy + 1 + y + z + yz + 1 + x + z + xz = 3 + 2(x+y+z) + (xy + xz + yz) = 31/8.$$

Расправимся со знаменателем аналогично:

$$ xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 1 = 22/8.$$

Тогда имеем окончательно

$$\Theta = 3 - 62/22 = 4/22 = 2/11.$$

[StaticZero]

Это бывает, если применять чисто формальные операции. Если копнуть глубже, окажется, что два из трёх чисел $x$, $y$, $z$ являются комплексными.

В самом деле, возьмём в полной системе уравнение $x + y + z = \dfrac{1}{8}$. Будем умножать последовательно его на $x$, $y$ и $z$ и складывать результаты. Будем иметь

$$ \dfrac{x + y + z}{8} = (x^2 + xy + xz) + (xy + y^2 + zy) + (xz + yz + z^2) = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz) = x^2 + y^2 + z^2 + \dfrac{10}{8}, $$

откуда следует сразу

$$ x^2 + y^2 + z^2 = - \dfrac{79}{64}. $$

При вещественных $x$, $y$, $z$ это невозможно. К этому же можно прийти и другим путём; именно, эти три числа представляют собой корни (в общем случае в $\mathbb C$) некоторого кубического уравнения

$$ x^3 + a_2x^2 + a_1 x + a_0 = 0. $$

По теореме Виета,

$$ \begin{align*} a_2 &= -(x + y + z) &= -\dfrac{1}{8}, \\ a_1 &= xz + yz + xy &= \dfrac{5}{8}, \\ a_0 &= -xyz &= -1, \end{align*} $$

что приводит к уравнению

$$ 8x^3 - x^2 + 5x - 8 = 0. $$

Нетрудно понять, что вещественный корень у этого уравнения единственный, так как производная многочлена слева равна

$$ 24x^2 - 2x + 5 > 0 $$

при всех $x$, так как дискриминант этого трёхчлена отрицательный. Отсюда вытекает строгая монотонность кубического многочлена и существование лишь одного вещественного корня.

Но тогда неизбежно вылезет вопрос о том, что же мы натворили такого, что поделив вещественные числа друг на друга, мы получили комплексные? Разгадка, по-видимому, в том, что мы делили вовсе не вещественные числа!

Иначе говоря, не существует всех вещественных $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих условиям

ins- в сообщении #1123948 писал(а):

$$\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{1}{2},$$

$$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{3}{4}.$$

[svv]

Здорово!

[ins-]

Thank you for the valuable remarks and ideas!
It is my fault not observing two of the numbers are complex. The problem is solvable if instead of $\frac{1}{2}$ and $\frac{3}{4}$ we put $a$ and $b$. While creating it - my idea was to use the identities:
$\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}.\frac{y-z}{x}.\frac{z-x}{y}=0$,
$\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+2=\frac{x+y}{z}.\frac{y+z}{x}.\frac{z+x}{y}$,
$\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}+\frac{x-y}{x+y}.\frac{y-z}{y+z}.\frac{z-x}{z+x}=0$.