почему в учебниках не вводят корень отрицательной степени?

[koljagm]

почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени


p.s.: я далеко не математик, может вопрос тупой)

[Morkonwen]

И как бы вы его ввели?

[Sonic86]

Можно. Наверное он просто сильно не нужен.

[caxap]

Есть же степени (любые вещественные и даже комплексные).

$\sqrt[a]{x}=x^{1/a}$, не?

[Евгений Машеров]

Потому, что извлечение корня это не самостоятельная операция, а частный случай возведения в степень. Выделенный отчасти из педагогических, отчасти из практических (составление таблиц для вычисления корней без использования логарифмов) соображений. Но когда установлено равенство, приведенное в предыдущем комментарии, то есть что корень степени a есть возведение в степень 1/a, то вводить корни отрицательных степеней становится слишком просто для педагогической пользы, а с практический - корень степени -a есть величина, обратная к корню степени a.
При желании можно и корень мнимой степени ввести. Чему, скажем, равен $\sqrt[i] i$?

[arqady]

koljagm в сообщении #466931 писал(а):

почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени

Из исторических соображений корень $n$ - ой степени общепринято определять для натуральных $n\geq2$ и, когда $n=2$, показатель корня не писать.
С другой стороны, чёткое определение корня $n$ -ой степени даёт отличный полигон для обучения важным вещам (работа с взаимнообратными функциями, например).
Опять же, всё зависит от того, какова цель. Если цель - сдать ЕГЭ (или наш багрут), то можно определять (или не определять) как угодно, лишь бы сдать.
Если же цель - научиться правильному мышлению, то лучше определить, как общепринято.

[Батороев]

koljagm в сообщении #466931 писал(а):

почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени

Наверное от того, что есть другие, более привычные формы записи:

$\sqrt[-n] x=x^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n] x}$

[ewert]

koljagm в сообщении #466931 писал(а):

почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени

А что такое вообще степень?...

В конце концов -- это такая операция $x^y$, что $x^{y+z}=x^y\cdot x^z$ (ну и там ещё кой-какие оговорки).

Изначально же $x^n$ для целых положительных $n$ определяется как повторное умножение.

А между этими двумя крайними позициями -- цепочка из нескольких логических переходов, одним из которых и является определение корня целочисленной положительной степени $x=\sqrt[n]{y}$ как функции, обратной к целой положительной степени $y=x^n$ и обозначение его как $y^{1\over n}$. Именно положительной, т.к. степени с отрицательными показателями выгоднее определять отдельно. Т.е. понятие корня не имеет особой самостоятельной математической ценности -- это лишь маленький кусочек некоторой конструкции.

Но после того, как понятие степени уже введено в полном объёме -- никто уже не в силах запретить обозначать $\sqrt[y]{x}\equiv x^{1\over y}$ для вообще произвольных $y\neq0$. Это не более чем вопрос выбора обозначений.

Правда, есть один формальный нюанс: часто принято считать, что, дескать, $\sqrt[3]x$ определён при всех иксах, в то время как $x^{1\over3}$ -- лишь при положительных. Но это сугубо школьный методический бздык, и сразу же после школы никто уже на это внимания не обращает.

[Lia]

Сообщение kisewal отделено в Пургаторий (М).
Причина переноса: потому что перенос.

[Dimitrys]

Евгений Машеров в сообщении #467219 писал(а):

Чему, скажем, равен $\sqrt[i] i$?

(Оффтоп)

Возведём i в степень$\frac{1}{i}$
$\frac{1}{i} = \frac{i}{-1} = -i$
$i^{-i}=e^{-i(\ln{i})}$
$\ln{i} = \ln{(1 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}})}=(\ln1 + i(\frac{\pi}{2} + 2\pi k ))$, где $k\in\mathbb{Z}$
логарифм единицы, вроде бы, в любом случае, 0
Значит, $\ln{i} = i(\frac{\pi}{2} + 2\pi k )$
$-i(\ln{i}) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $
$i^{-i}=e^{-i(\ln{i})}=e^{\frac{\pi}{2} + 2\pi k} = e^{\frac{\pi}{2}} \cdot (e^{2\pi})^k \approx 4.81 \cdot 535.5^k$

Проблема заключается в цикличности $e^{\varphi i} :
$e^{\varphi i} = e ^ {(\varphi + 2\pi k) i}$
Можно было бы проиллюстрировать графиком, но для этого надо думать

Я мог сбиться в середине вычислений - errare humanum est - но тем не менее, с несколькими последними выражениями, выводимыми, когда мы ищем $\sqrt[i] i$, мы начинаем осознавать масштаб проблемы - корней-то бесконечное количество! Но дело в том, что корней отрицательной степени столько же, сколько и положительной (В отличие от комплексной степени). Так, например,
$ \sqrt[-2] {\frac{1}{4}} = \sqrt[2] {\frac{1}{\frac{1}{4}}} = \sqrt[2] {4} = {-2; 2}$
И это вполне имеет практический смысл - найти, например (как в данном случае), отношение метра к стороне квадрата площадью $\frac{1}{4} m^2$ т. е. $1\colon 0.5 = 2\colon 1$

[warlock66613]

(Оффтоп)

Dimitrys в сообщении #1282976 писал(а):

Я мог сбиться в середине вычислений

Вы сложным путём пошли. Всё же гораздо проще:

$$i^{-i}=(e^{(\frac \pi 2 + 2\pi k)i})^{-i}=e^{(\frac \pi 2 + 2\pi k)(i \cdot (-i))}=e^{\frac \pi 2 + 2\pi k}$$