Синтаксическая и содержательная математика

[timber]

В ходе чтения разного рода материалов в интернете сталкиваюсь с такими понятиями как -- синтаксическая математика и содержательная математика.

Например:

Цитата:

В американских университетах на роль синтаксических предметов претендуют calculus, дифференциальные уравнения, и многие другие курсы для undergraduate'ов.
Насколько я могу судить, среди graduate курсов синтаксиса почти нет.
Почти все undergraduate курсы - синтаксические. На калкулусе ничему, кроме синстаксических манипуляций, научить не пытаются, и ничего, короме умения их выполнять, не проверяют. Graduate курсы - это нормальная содержательная математика.

Их оказывается две
Сложилось такое представление, что синтаксическая -- эта та математика, которая полностью состоит из строго определенных формализованных правил/законов получения каких-то выводов (рассуждений). Она вся основана на символьных, буквенных и числовых записях.
Содержательная математика получается в своем роде -- это семантическая (смысловая) математика. То есть в ней не важна сама запись какой-то синтаксической конструкции, правильно ли она записана или нет, а главное её смысловое значение, то есть понимание самой сути. Какие-то выводы и построение доказательств в содержательной математике более интуитивны и не требуют строгих логических умозаключений. Главное, чтобы результат был верный.
Еще пишут, что вроде бы в приоритете именно содержательная математика и за ней будущее.
Помогите, пожалуйста, разобраться в сути этих понятий.
В чем отличия и особенности?
Простите за сравнение, но можно ли утрированно сказать, что одна из математик плохая, а другая хорошая?
Хотелось бы понять, как отделять зерна от плевел.

[Sonic86]

А вот не нужно без фильтра в интернете читать разного рода материалы.
Эти понятия не формализованы, они могут оказаться формализуемыми, могут оказаться неформализуемыми. В любом случае, они лежат даже вне метаматематики.

Лучше почитайте Пуанкаре про интуитивистов и логиков.

(Оффтоп)

timber в сообщении #1123687 писал(а):

можно ли утрированно сказать, что одна из математик плохая, а другая хорошая?

Плохие деревья, плохие дома, такие плохие кусты
А хороший автобус уехал без нас, хороший автобус уехаааал проооочь!

[Anton_Peplov]

timber в сообщении #1123687 писал(а):

Какие-то выводы и построение доказательств в содержательной математике более интуитивны и не требуют строгих логических умозаключений. Главное, чтобы результат был верный.

Это Вы сильно выразились. То, что "не требует строгих логических умозаключений, главное, чтобы результат был верный", не является математикой вообще. В частности, потому, что в математике нет никаких критериев верности результата, кроме строгости ведущих к нему логических умозаключений. Вот в физике есть - предсказательная сила получившейся модели, и физика неплохо подходит под это описание.

Правильнее будет сказать, что в "содержательной" математике рассуждения, хотя и строгие, ведутся на естественном языке, а не являются манипуляциями символами по точно определенным правилам. Но такое деление тоже условно, т.к. доказательство любой "содержательной" теоремы при необходимости может быть полностью формализовано на языке теории множеств.

Я не очень могу привести примеры "синтаксической" математики, кроме задач типа "вычислить производную, взять интеграл, упростить выражение...". Впрочем, возможно, я под этим термином понимаю что-то иное, нежели люди из интернета.

[Pphantom]

timber в сообщении #1123687 писал(а):

Помогите, пожалуйста, разобраться в сути этих понятий.
В чем отличия и особенности?
Простите за сравнение, но можно ли утрированно сказать, что одна из математик плохая, а другая хорошая?
Хотелось бы понять, как отделять зерна от плевел.

Я сейчас буду немного резковат, но, думаю, это не очень страшно.

В последние примерно два десятилетия среди отдельных российских математиков весьма популярен взгляд, некоторую выжимку из которого Вы изложили. Как правило, под "содержательной математикой" при этом понимаются отдельные достаточно абстрактные области математики, интересные обладателю взгляда, а под "синтаксической математикой" - всякий низменный матанализ и прочая прикладная ерунда, недостойная, по мнению обладателя взгляда, как звания настоящей математики, так и того, чтобы ей заниматься. В общем-то носителей таких взглядов мало, но шуму они создают очень много. Имена Миши Вербицкого или Димы Павлова (который, если не ошибаюсь, и является автором приведенной Вами цитаты) у многих местных обитателей вызовут целый ворох подобных ассоциаций.

Посему следует иметь в виду, что:
1) То, что пишется обычно про "содержательную математику", более чем наполовину - эпатаж, предназначенный для неподготовленной публики.
2) Сам по себе вопрос о корректности тех или иных методов доказательства (без мании величия в анамнезе), конечно, имеет право на жизнь, но до выяснения определенного ответа на него, мягко говоря, еще очень далеко.
3) Пытаться отделять зерна от плевел по этому признаку настоятельно рекомендуется при достижении хотя бы уровня PhD/кандидата в области математики. До этого подобные рассуждения будут иметь ту же ценность, что и обсуждение дошкольником сравнительных достоинств французских и латиноамериканских вин.

[Anton_Peplov]

Pphantom в сообщении #1123721 писал(а):

Как правило, под "содержательной математикой" при этом понимаются отдельные достаточно абстрактные области математики, интересные обладателю взгляда, а под "синтаксической математикой" - всякий низменный матанализ и прочая прикладная ерунда

Если так, то, называя вторую математику "синтаксической" и противопоставляя ее "содержательной", авторы путают не только теплое с мягким, но и бычий рог с северным сиянием. Во всяком случае, ни при каком сколько-нибудь оправданном понимании слова "синтаксис" назвать весь стандартный физфаковский курс математики "синтаксической математикой" мне не удается.

[Pphantom]

Anton_Peplov в сообщении #1123727 писал(а):

Во всяком случае, ни при каком сколько-нибудь оправданном понимании слова "синтаксис" назвать весь стандартный физфаковский курс математики "синтаксической математикой" мне не удается.

Нормальным людям это действительно обычно не удается.

[Red_Herring]

Pphantom в сообщении #1123730 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1123727 писал(а):

Во всяком случае, ни при каком сколько-нибудь оправданном понимании слова "синтаксис" назвать весь стандартный физфаковский курс математики "синтаксической математикой" мне не удается.

Нормальным людям это действительно обычно не удается.

Более того, сама мысль об этом им в голову не приходит.

[Mikhail_K]

Pphantom в сообщении #1123721 писал(а):

Как правило, под "содержательной математикой" при этом понимаются отдельные достаточно абстрактные области математики, интересные обладателю взгляда, а под "синтаксической математикой" - всякий низменный матанализ и прочая прикладная ерунда, недостойная, по мнению обладателя взгляда, как звания настоящей математики, так и того, чтобы ей заниматься.

Я согласен с тем, что деление на "синтаксическую" и "содержательную" математику условное и выражает только личную точку зрения обладателей определённых взглядов.
Но всё же, мне показалось, что деление это не такое, как описали Вы.
К синтаксической математике относят не мат.анализ сам по себе, а способ его преподавания, где от студентов требуется бесконечное вычисление производных и интегралов по известным формулам или с помощью известных приёмов, вместе с дефицитом задач на доказательство.
Причём к этому способу преподавания презрительное отношение не потому, что это "прикладная ерунда", а наоборот - потому что это нигде и никому не нужно. И в научной работе по математике, и в приложениях математики, как правило, оказываются ненужными навыки взятия сложных интегралов в элементарных функциях. В частности, в научных исследованиях приходится брать явно только самые простейшие интегралы, а в приложениях интегралы не берут, а вычисляют численно.
И мне кажется, что в этой точке зрения есть доля истины. А то ведь есть школьники и даже студенты, которые умеют брать производные и интегралы, при этом напрочь не понимая, что такое производная и интеграл; которые научились решать типовые задачи, напрочь не понимая, что именно они делают. Наверное, в МГУ всё не так печально, а вот в провинциальных вузах так бывает точно.
Тот же Павлов говорит, что одному и тому же предмету можно обучать синтаксически, а можно содержательно - и надо обучать содержательно. Точную ссылку на эти его слова приводить не буду, читал их очень давно. Но это доказывает, что он всё-таки далёк от чёткого разделения всех предметов на синтаксические и содержательные; скорее, разделение это относится не к самим предметам, а к способу их преподавания.

[INGELRII]

Не вижу вообще места и причин для противопоставления этих двух математик. По-моему, они вместе и составляют математику в целом, причем сильно друг на друга завязаны, и по отдельности никакой ценности не имеют. Можно найти больше9000 пределов, так и не поняв, что такое предел - довольно малоосмысленное занятие. А можно понять, что такое предел, не научившись эти пределы находить - правда, при этом почему-то оказывается, что и понять ничего не удалось на самом деле.

Это как делить человека на кости и прочие внутренности. Кожа, мышцы и жиры красивые, теплые, приятные на ощупь, особенно у женщин, это хорошие части человеческого тела. Кости же твердые, угловатые, и неэстетично смотрятся, если их вытащить наружу. Они плохие, фу, долой их!

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1123741 писал(а):

И мне кажется, что в этой точке зрения есть доля истины. А то ведь есть школьники и даже студенты, которые умеют брать производные и интегралы, при этом напрочь не понимая, что такое производная и интеграл; которые научились решать типовые задачи, напрочь не понимая, что именно они делают.

И даже преподаватели такие есть! Но есть и такие, которые думают, что понимают, что такое производная и интеграл, но не умеют их вычислить и утешаются тем, что обвиняют тех, кто умеет, в непонимании

INGELRII в сообщении #1123750 писал(а):

жиры красивые, теплые, приятные на ощупь,

В. Высоцкий писал(а):

О вкусах не спорят - есть тысяча мнений...

[Pphantom]

Mikhail_K в сообщении #1123741 писал(а):

К синтаксической математике относят не мат.анализ сам по себе, а способ его преподавания, где от студентов требуется бесконечное вычисление производных и интегралов по известным формулам или с помощью известных приёмов, вместе с дефицитом задач на доказательство.

К сожалению, обычно подобные высказывания, если и начинаются с обсуждения способов преподавания, очень быстро обобщаются на математику в целом. Например, подобное обобщение уже появилось в первом сообщении этой темы.

Mikhail_K в сообщении #1123741 писал(а):

Причём к этому способу преподавания презрительное отношение не потому, что это "прикладная ерунда", а наоборот - потому что это нигде и никому не нужно. И в научной работе по математике, и в приложениях математики, как правило, оказываются ненужными навыки взятия сложных интегралов в элементарных функциях. В частности, в научных исследованиях приходится брать явно только самые простейшие интегралы, а в приложениях интегралы не берут, а вычисляют численно.

Это красивая, но легенда. Хорошая аналитическая теория - это очень удобно, намного удобнее, чем численная модель. Поэтому, если задачу удается "пробить" аналитикой, это будут делать.

Mikhail_K в сообщении #1123741 писал(а):

А то ведь есть школьники и даже студенты, которые умеют брать производные и интегралы, при этом напрочь не понимая, что такое производная и интеграл; которые научились решать типовые задачи, напрочь не понимая, что именно они делают.

Есть, безусловно. Но из этого никак не следует вывод, что уметь решать типовые задачи не надо.

Mikhail_K в сообщении #1123741 писал(а):

Тот же Павлов говорит, что одному и тому же предмету можно обучать синтаксически, а можно содержательно - и надо обучать содержательно. Точную ссылку на эти его слова приводить не буду, читал их очень давно. Но это доказывает, что он всё-таки далёк от чёткого разделения всех предметов на синтаксические и содержательные; скорее, разделение это относится не к самим предметам, а к способу их преподавания.

Я, наверное, слышал это все в куда большем объеме (по причине куда большей близости к источнику). В общем-то он даже предлагал примерную схему обучения, которая ему казалось правильной; можно отметить, что она нереалистична даже для значительной части студентов-математиков (в т.ч. и довольно сильных), и совершенно непригодна для кого-либо еще.

[INGELRII]

Red_Herring

(Оффтоп)

Ну, женщина совсем лишенная жира, смотрится обычно не очень. Разумеется, этого жира должно быть в меру.

Теорию меры жира я обсуждать сейчас не готов. Заинтересовавшихся вопросом отсылаю к трудам Халмоша.

-- 15.05.2016, 20:17 --

Скажем, хочу я найти асимптотику некой хитрой функции на бесконечности. Неужели действительно проще купить время работы суперкомпьютера, или самому сооружать вычислительный кластер, и потом пару недель ждать, что там насчитают компы на гигантских числах - чем взять ручку и бумагу, и попробовать решить задачу аналитически?

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1123741 писал(а):

И в научной работе по математике, и в приложениях математики, как правило, оказываются ненужными навыки взятия сложных интегралов в элементарных функциях. В частности, в научных исследованиях приходится брать явно только самые простейшие интегралы, а в приложениях интегралы не берут, а вычисляют численно.

Это миф, распространённый среди тех, кто от приложений (да и научных исследований) очень далёк.
На самом деле, взятие производных и интегралов, решение дифуров - настолько же постоянно необходимые навыки, как, например, сложение простых дробей. Здесь тоже можно заявить, что "в научных исследованиях приходится складывать явно только самые простейшие дроби, а в приложениях складывают десятичные"... Или как умение дышать, ходить, бегать, плавать, ездить на велосипеде.

[Red_Herring]

Одному моему знакомому требовалось численно посчитать 3хмерный интеграл--достаточно трудоемкая вычислительная задача. Он, однако, свел его к 1мерному и вычислительная задача стала гораздо проще. Это к тому, что в прикладных задачах требуется умение делать и то, и другое.

[Munin]

И это только частный случай, как в прикладной задаче это может пригождаться.