Точки и прямые

[Ktina]

При каких натуральных $n$ можно отметить на плоскости несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно $n$ отмеченных точек и через каждую точку проходило ровно $n$ отмеченных прямых?

[DeBill]

Это чё, конечная геометрия (порядка $n-1$) что ли?

(Оффтоп)

Я умею для $n=2$ !

[Ribin]

При $n=1$ можем просто взять прямую и точку на ней, при $n=2$ подойдут 3 прямые, образующие треугольник и вершины этого треугольника. При $n>2$ мы получаем, что через любую точку пересечения двух выбранных прямых, проходит еще одна из выбранных прямых. Но тогда по двойственной переформулировке теоремы Сильвестра получаем, что все выбранные прямые проходят через одну точку. Противоречие.
Если фраза "несколько прямых" подразумевает и бесконечное кол-во, то непонятно. Пример бесконечной картинки для $n=3$: Каждую выделенную точку пересекает ровно по одной прямой типа $a,b,c$

[DeBill]

Ribin

Ribin в сообщении #1121906 писал(а):

любая прямая, проходящая через две отмеченные точки, содержит еще одну точку.

Из условия задачи это не следует (следует лишь для ОТМЕЧЕННЫХ прямых). Т.е., если бы это действительно была конечная геометрия - там через любые две точки можно провести прямую - то мы бы обломались. А пока - нет...

[Ribin]

DeBill в сообщении #1121912 писал(а):

Ribin
Т.е., если бы это действительно была конечная геометрия - там через любые две точки можно провести прямую - то мы бы обломались. А пока - нет...

(Оффтоп)

Да, сначала глупость написал, потом исправил точки на прямые, но сейчас думаю - и это тоже неверно. Эх, не получилось коротко через Теорему Сильвестра

[DeBill]

Теорема Дезарга говорит, что, если бы мы попытались НЕ построить такую конфигурацию для $n=3$, у нас бы ничё не вышло: обязательно получится по три точки на прямых, и по три прямых через каждую. Вот ведь блин....

-- 08.05.2016, 00:14 --

А если по простому: взять $n$- мерный куб, с ребром, равным $n-1$, разбить на единичные кубики, и полученную весчь (узлы решетки - точки, отрезки, параллельные осям - прямые) спроектировать на плоскость - так, чтобы узлы и прямые спроектировались хорошо? Вроде, будет то что надо...

-- 08.05.2016, 00:34 --

А если $k-$ мерный, то через каждую точку будет $k$ прямых, а на любой прямой - $n$ точек, для любых $n,k$...