область сходимости ряда функционального ряда

[Ёж]

Необходимо найти область сходимости функционального ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{1+x}}$.

Ряд
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n^{1+x}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+x}}$ является обобщенным гармоническим рядом. Он сходится при $1+x>1$, т.е. при $x>0$. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно при $x>0$.

Но, например, при $x=0$ данный ряд сходится условно, т.е. точка $x=0$ входит в область сходимости.

Получается, что для нахождения области сходимости недостаточно рассмотреть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n^{1+x}}\right|$ и необходимо было рассмотреть изначально данный ряд как знакочередующийся и найти область сходимости с помощью признака Лейбница?

[demolishka]

Ёж в сообщении #1121513 писал(а):

найти область сходимости с помощью признака Лейбница

Так и что же Вы медлите? Вперед!

[Ёж]

demolishka в сообщении #1121530 писал(а):

Ёж в сообщении #1121513 писал(а):

найти область сходимости с помощью признака Лейбница

Так и что же Вы медлите? Вперед!

-- Пт май 06, 2016 16:28:46 --

Данный ряд знакочередующийся. Следовательно он сходится, если удовлетворяет признаку Лейбница:
1) $|f_{n}(x)|>|f_{n+1}(x)|$ или $\frac{|f_{n}(x)|}{|f_{n+1}(x)|}>1$:
$\frac{(n+1)^{1+x}}{n^{1+x}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{1+x}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1+x}>1$ если $1+x>0$, т.е. $x>-1$.

2) $\lim\limits_{n \to \infty}|f_{n}(x) |=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^{1+x}}=0 $ если $1+x>0$, т.е. $x>-1$.

Таким образом, область сходимости данного ряда $x>-1$.

Правильно ли решение?

[demolishka]

Во-первых, в признаке Лейбница $f_n(x)$ --- знакопостоянная, так что зачем знак модуля? Во-вторых, неравенство для монотонности требуется нестрогое, лишь бы предел был нулевой. В-третьих, признак Лейбница --- достаточное условие сходимости знакочередующегося ряда, а задача поставленная Вами --- исследование сходимости. Так что еще остается вопрос, что же будет при $x \leq -1$?

[Ёж]

demolishka в сообщении #1121546 писал(а):

Во-первых, в признаке Лейбница $f_n(x)$ --- знакопостоянная, так что зачем знак модуля? Во-вторых, неравенство для монотонности требуется нестрогое, лишь бы предел был нулевой. В-третьих, признак Лейбница --- достаточное условие сходимости знакочередующегося ряда, а задача поставленная Вами --- исследование сходимости. Так что еще остается вопрос, что же будет при $x \leq -1$?

Данный ряд знакочередующийся. Следовательно он сходится, если удовлетворяет признаку Лейбница:
1) $f_{n}(x)\geqslantf_{n+1}(x)$ или $\frac{f_{n}(x)}{f_{n+1}(x)}\geqslant1$:
$\frac{(n+1)^{1+x}}{n^{1+x}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{1+x}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1+x}\geqslant1$ если $1+x>0$, т.е. $x>-1$.

2) $\lim\limits_{n \to \infty}f_{n}(x) =\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^{1+x}}=0 $ если $1+x>0$, т.е. $x>-1$.

Таким образом, при $x>-1$ данный знакочередующийся ряд сходится.

При $x\leqslant-1$ $\lim\limits_{n \to \infty}f_{n}(x) =\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^{1+x}}\ne 0$. Следовательно данный ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости.

А теперь?

[Brukvalub]

Теперь нормалёк!