Доказать неравенство

[col1n]

Не очень понимаю с чего начать, как ни крутил ничего путного не получается.
$(e^x-1) \ln(x+1)>x^2$, при x>0

[gris]

А есть ли точка, где правая и левая часть равны? От неё можно аккуратно двинуться вправо. Хотя, на первый взгляд, ряд не получается знакопостоянным(?)

[demolishka]

У левой и правой части в $x=0$ совпадают все производные до второй включительно. Поэтому Вам достаточно показать, что третья производная левой части больше нуля --- это легко делается.

[col1n]

demolishka в сообщении #1120874 писал(а):

У левой и правой части в $x=0$ совпадают все производные до второй включительно. Поэтому Вам достаточно показать, что третья производная левой части больше нуля --- это легко делается.

У меня была такая идея: показать, что функция возрастает, для этого показать, что первая производная положительная, потом тоже доказать, что она всегда положительна через вторую производную и так до третьей. Вы это имеете в виду?
Только не очень понимаю, что хорошего в равенстве производных в x=0, не могли бы Вы пояснить

-- 04.05.2016, 14:56 --

gris в сообщении #1120868 писал(а):

А есть ли точка, где правая и левая часть равны? От неё можно аккуратно двинуться вправо. Хотя, на первый взгляд, ряд не получается знакопостоянным(?)

Я думаю это точка 0

[demolishka]

col1n в сообщении #1120879 писал(а):

Только не очень понимаю, что хорошего в равенстве производных в x=0, не могли бы Вы пояснить

Если два тела начинают движение в одной и той же точке в момент времени $t=0$ и скорость первого тела больше скорости второго тела в любой другой момент времени $t>0$, то в любой момент времени $t>0$ первое тело будет находится строго дальше нежели второе. Если же тела начинают движение в различных точках, то нужно разбираться

[col1n]

demolishka в сообщении #1120902 писал(а):

col1n в сообщении #1120879 писал(а):

Только не очень понимаю, что хорошего в равенстве производных в x=0, не могли бы Вы пояснить

Если два тела начинают движение в одной и той же точке в момент времени $t=0$ и скорость первого тела больше скорости второго тела в любой другой момент времени $t>0$, то в любой момент времени $t>0$ первое тело будет находится строго дальше нежели второе. Если же тела начинают движение в различных точках, то нужно разбираться

Вашу идею я понял, то есть план такой:
1) сравнить, производные в точке 0, объяснить, что до 2(включительно) они совпадают
2) доказать, что первая производная левой части при всех x>0,больше производной правой части
Правильно понял?

[Евгений Машеров]

А тут не получается
$(e^x-1) >x$
и
$ \ln(x+1)>x$?

[dsge]

Евгений Машеров в сообщении #1120926 писал(а):

$ \ln(x+1)>x$

Это нет.

[ewert]

Зато если $y\equiv\ln(x+1)\ \ (\Rightarrow\ y<x)$, то доказываемое неравенство сводится к $\frac{e^x-1}{x}>\frac{e^y-1}{y}$, т.е. к монотонности $\frac{e^x-1}{x}$, что уже довольно очевидно.

[demolishka]

col1n в сообщении #1120924 писал(а):

2) доказать, что первая производная левой части при всех x>0,больше производной правой части

Не первая производная, а третья производная. Применяем изложенный принцип 3 раза. Сначала для исходного неравенства, потом для неравенства на производные, потом для неравенства на вторые производные, а неравенство на третьи производные уже очевидно. Т.е. если докажем неравенство для третьей производной $\Rightarrow$ докажем для второй производной $\Rightarrow$ докажем для первой производной $\Rightarrow$ докажем исходное неравенство.

А лучше сделайте как сказал ewert.

[col1n]

Спасибо