Сходимость и абсолютная сходимость несобственного интеграла

[omtcyf0]

$\int_2^{+\infty} x^a \arctg{{\ln(x)}\over{x}} \sin{x^3} dx$

Функция знакопеременная, особая точка в $+\infty$.

С абсолютной сходимостью вроде бы понятно:

$|{x^a \arctg{{\ln(x)}\over{x}} \sin{x^3}}| \leq {{{\pi}\over{2}} x^{a}} $

Значит, интеграл абсолютно сходится при $a < - 1$.

А как быть с условной сходимостью?

[Brukvalub]

omtcyf0 в сообщении #1120767 писал(а):

С абсолютной сходимостью вроде бы понятно:

${x^a \arctg{{\ln(x)}\over{x}} \sin{x^3}} \preceq {{{\pi}\over{2}} x^{a}} $

Значит, интеграл абсолютно сходится при $a < - 1$.

1. Запись непонятна, но модуля слева - нет, что уже очень плохо
2. Нужно получить точное множество параметров для абсолютной сходимости, так что одной функции справа маловато будет, значит, ставим "неуд".

[omtcyf0]

Brukvalub в сообщении #1120769 писал(а):

omtcyf0 в сообщении #1120767 писал(а):

С абсолютной сходимостью вроде бы понятно:

${x^a \arctg{{\ln(x)}\over{x}} \sin{x^3}} \preceq {{{\pi}\over{2}} x^{a}} $

Значит, интеграл абсолютно сходится при $a < - 1$.

1. Запись непонятна, но модуля слева - нет, что уже очень плохо
2. Нужно получить точное множество параметров для абсолютной сходимости, так что одной функции справа маловато будет, значит, ставим "неуд".

А, да, конечно, добавил модуль.

[Brukvalub]

А как же мой п.2?

[omtcyf0]

Brukvalub в сообщении #1120775 писал(а):

А как же мой п.2?

С этим потруднее

Имеется в виду, что нужно записать полное условие Коши?

[Brukvalub]

omtcyf0 в сообщении #1120782 писал(а):

Имеется в виду, что нужно записать полное условие Коши?

Имеется в виду, что вы нашли оценку сверху, которая дает лишь достаточные условия абсолютной сходимости. Но необходимость этих условий пока не получена.

[DeBill]

omtcyf0
А есть такой признак - Дирихле - он позволяет установить сходимость, когда происходят взаимные сокращения у незнакопостоянной подынтегральной.
А есть еще признак Абеля - он позволяет на уже доказанную сходимость навесить еще че-нить монотонное органичное...
Ну, и должны были Вам продемонстрировать стандартный финт ушами $\left\lvert \sin x\right\rvert \geqslant (\sin x)^2 =\frac{1}{2}\cdot (1 - \cos (2x))$ А косинус - он и в Африке такой же, как синус...

[ewert]

omtcyf0 в сообщении #1120767 писал(а):

$|{x^a \arctg{{\ln(x)}\over{x}} \sin{x^3}}| \leq {{{\pi}\over{2}} x^{a}} $

И, кроме того, насчёт пи пополам Вы явно погорячились.