Дельта-функция Дирака и функция Хевисайда

[fronnya]

Наткнулся на очевидное, как пишет автор книжки, соотношение:

$\int\limits_{x_1}^{x} \delta(x)dx = 1/2$, когда $x=0$ . Как его доказать?

[Brukvalub]

А что это такое: интеграл Римана от обобщенной функции? Как определяется такой объект?

[fronnya]

Brukvalub в сообщении #1119643 писал(а):

А что это такое: интеграл Римана от обобщенной функции? Как определяется такой объект?

ну типа да. Через него определяется $\delta$-функция: $\int\limits_{\Delta V} \delta(\vec{r})dV=1$, где $\Delta V$ содержит точку $\vec{r}=\vec{0}$.

-- 30.04.2016, 22:25 --

О, я придумал доказательство

-- 30.04.2016, 22:26 --

Правда там фигурируют интегралы Римана от обобщенной функции

[ewert]

fronnya в сообщении #1119642 писал(а):

Наткнулся на очевидное, как пишет автор книжки, соотношение:

$\int\limits_{x_1}^{x} \delta(x)dx = 1/2$, когда $x=0$ . Как его доказать?

Никак. Это утверждение просто бессмысленно.

А что за книжка, кстати?

Я вот очень люблю и Гарднера, и Стаута, а уж как Старка/Уэстчего-то-там -- так и не приведи господь ка люблю.

Так что за книжка-то?...

[Brukvalub]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1119651 писал(а):

Так что за книжка-то?...

Всякий уважающий себя любитель профессионал сразу должен по фрагменту узнавать "Марсианские хроники" Р. Брэдбери!

[fronnya]

Ну чего вы все так... Топтыгин, "Современная электродинамика".

-- 30.04.2016, 22:47 --

Это, кстати, в рамках того утверждения, что производная от функции Хевисайда равна дельта-функции.

[Brukvalub]

Умом ту книгу не понять
Аршином общим не измерить
У ней особенная стать
И в формулы в ней надо верить!

[fronnya]

Плохая книга, другими словами. Да?

-- 30.04.2016, 23:00 --

Не вижу в ней ничего плохого, кроме опечаток, честно говоря.

[Legioner93]

Плохой учебник -- это когда материал не соответствует целям чтения. Вот вы с какой целью книгу читаете?

[fronnya]

С целью освоить определенные главы электродинамики. Они понадобятся мне. Чтобы их освоить, нужно решать задачи, не иначе.

[amon]

fronnya в сообщении #1119642 писал(а):

$\int\limits_{x_1}^{x} \delta(x)dx = 1/2$, когда $x=0$ . Как его доказать?

Осмелюсь предположить, что это связано с тем, что Топтыгин доопределил $\theta$-функцию Хевисайда на разрыве как $\theta(0)=1/2$. Тогда можно соорудить конструкцию, которая выдаст $\theta(0)$ в качестве результата ($\int\limits_{x_1}^{x} \delta(x)dx =\int\limits_{-\infty}^{\infty} (\theta(-x)-\theta(x_1-x))\delta(x)dx$). Однако, такое определение целиком на совести автора.

[Munin]

fronnya в сообщении #1119659 писал(а):

Плохая книга, другими словами. Да?

Книга хорошая.

Конкретное утверждение про одну вторую надо "принимать с крупицей соли". В математике такого утверждения нет днём с огнём. То есть, проинтегрировать половину дельта-функции просто нельзя - результат неопределён. Но в физике может быть удобно брать его половинкой - для каких-то приложений. Хотя вот не могу вспомнить, где бы это так уж сильно было нужно.

Разве чтобы считать дельта-функцию чётной функцией.

[amon]

Munin в сообщении #1119676 писал(а):

Хотя вот не могу вспомнить, где бы это так уж сильно было нужно.

Интегрирование "сквозь полюс" (функции $f(x)/(x-1)$ по вещественной оси) дает половину вычета в полюсе (если все хорошо). Видимо, ноги $\delta$-функции Топтыгина растут из такого полюса.

[Munin]

А, спасибо. Хотя само по себе "интегрирование сквозь полюс" вещь столь же условная.