Кривое неравенство

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательные числа, для которых $a+b+c+\sqrt{abc}=4$. Докажите, что:

$$\sqrt{24a+25}+\sqrt{24b+25}+\sqrt{24c+25}\geq21$$

Моё доказательство.
Пусть, $\sum\limits_{cyc}\sqrt{24a+25}<21$, $a=kx$, $b=ky$ and $c=kz$, где $k>0$ и $\sum\limits_{cyc}\sqrt{24x+25}=21$. Тогда $k<1$ и
$4=k(x+y+z)+\sqrt{k^3xyz}<x+y+z+\sqrt{xyz}$, противоречие, поскольку мы докажем сейчас, что $x+y+z+\sqrt{xyz}\leq4$.
Действительно, пусть $x=\frac{p^2+5p}{6}$, $y=\frac{q^2+5q}{6}$ и $z=\frac{r^2+5r}{6}$, где $p$, $q$ и $r$ неотрицательны.
Тогда $p+q+r=3$ и нужно доказать, что $\sum\limits_{cyc}(p^2+5p)+\sqrt{\frac{1}{6}pqr(p+5)(q+5)(r+5)}\leq24$.
$AM-GM$ даёт $\sqrt{\frac{1}{6}pqr(p+5)(q+5)(r+5)}\leq\sqrt{\frac{pqr(p+5+q+5+r+5)^3}{6\cdot27}}=\sqrt{36pqr}=\sqrt{12(p+q+r)pqr}$
Поэтому остаётся доказать, что $\sum\limits_{cyc}(p^2+5p)+\sqrt{12(p+q+r)pqr}\leq24$ или
$p^2+q^2+r^2+\sqrt{12(p+q+r)pqr}\leq9$ или $\sqrt{3(p+q+r)pqr}\leq pq+pr+qr$, что очевидно.

Обе задачи были в нашем лагере на этой неделе.

[Sergic Primazon]

Сделаем замену: $ a=4\sin^2 \left(\frac{\alpha}{2} \right), b= 4\sin^2 \left( \frac{\beta}{2} \right) , c=4\sin^2 \left ( \frac{\gamma}{2} \right )$, $\alpha+\beta+\gamma=\pi $

$f(x)= \sqrt{73-48 \cos(x)}$ - вогнутая при $x \in(0,\arccos(\frac{3}{8}))$ и выгнутая при $x \in(\arccos(\frac{3}{8}) , \pi)$

Пусть : $\gamma \le \beta \le \alpha$

1. $\gamma \le \beta \le \arccos(\frac{3}{8})$. Тогда : $f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma) \ge f(\alpha)+ 2f \left( \frac{\beta+\gamma}{2} \right ) $

2. $\arccos(\frac{3}{8}) \le \beta$. Тогда раздвигаем $\beta $ и $\alpha$ пока $\beta $ не сядет на $\arccos(\frac{3}{8})$ и переходим к п.1

Поэтому минимум всегда достигается при условии $\gamma= \beta$

$g(\alpha) = f(\alpha)+ 2 \cdot f \left( \frac{\pi-\alpha}{2} \right) = \sqrt{73-48 \cdot \cos(\alpha)}+2 \sqrt{73-48 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}$, $\alpha \in [\frac{\pi}{3},\pi]$

Минимум достигается при : $(\gamma= \beta = \alpha = \frac{\pi}{3})$ и $(\gamma=\beta =0 , \alpha= \pi)$

[arqady]

Sergic Primazon в сообщении #1117607 писал(а):

2. $\arccos(\frac{3}{8}) \le \beta$. Тогда раздвигаем $\beta $ и $\alpha$ пока $\beta $ не сядет на $\arccos(\frac{3}{8})$ и переходим к п.1

Поэтому минимум всегда достигается при условии $\gamma= \beta$

Вы указали процесс уменьшения значения функции до ситуации с равенством переменных. Это правильно!
Осталось доказать неравенство от одной переменной.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1117645 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #1117607 писал(а):

2. $\arccos(\frac{3}{8}) \le \beta$. Тогда раздвигаем $\beta $ и $\alpha$ пока $\beta $ не сядет на $\arccos(\frac{3}{8})$ и переходим к п.1

Поэтому минимум всегда достигается при условии $\gamma= \beta$

Вы указали процесс уменьшения значения функции до ситуации с равенством переменных. Это правильно!
Осталось доказать неравенство от одной переменной.

$\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) =t $ , $t \in \left[ \frac{1}{2},1 \right]$

$w(t)=\sqrt{25+96t^2}+2\sqrt{73-48t}$

$w'(t)=0 \Leftrightarrow (16t+5)(6t-5)(2t-1)=0$

Минимум достигается на краях отрезка $[\frac{1}{2},1]$

$w \left ( \frac{1}{2} \right) =w(1)=21$

[arqady]

Sergic Primazon, спасибо! Это оказалось не так трудно, как я думал.