2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Общий перпендикуляр
Сообщение18.04.2016, 23:04 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Расходящиеся прямые имеют точно один общий перпендикуляр. Я убеждён, что перпендикуляр существует, но хочется получить подтверждение эксперта, что я правильно понял доказательство. Кажется что прямые двигаются при попытке ткнуть карандашом в прямую $b.$

Итак пусть $a$ и $b$ какие-нибудь расходящиеся прямые ($b$ выше $a$). Беру точку $O$ на прямой $b$. Опускаю перпендикуляр $OA$ к прямой $a$. Перпендикуляр $OA$ и прямая $b$ образуют тупой и острый углы (рассматриваю этот случай). Задаю функцию. Для любой точки $M$ прямой $b$, длине $|x|$ отрезка $OM$ ставлю в соответствие длину перпендикуляра $MN$ к прямой $a$. И вот, что я понял.
1. функция непрерывна, монотонна, возрастающая, неограниченна со стороны тупого угла.
2. функция непрерывна и неограниченна со стороны острого угла.
3. минимальное значение функции ($f(x_0)$) есть длина отрезка, совпадающего с общим перпендикуляром.
4. общий перпендикуляр находится со стороны острого угла.
Скажите, пожалуйста, если я всё правильно понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий перпендикуляр
Сообщение18.04.2016, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Расходящиеся $=$ скрещивающиеся? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий перпендикуляр
Сообщение18.04.2016, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Brukvalub в сообщении #1116479 писал(а):
Расходящиеся $=$ скрещивающиеся? :shock:
Нет, там про геометрию Лобачевского (по секрету :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий перпендикуляр
Сообщение18.04.2016, 23:29 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Через точку вне прямой проходят две параллельные прямые (правая и левая) и бесконечно много расходящихся. По-видимому отношение расходимости симметрично, что следует из симметричности отношения параллельности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий перпендикуляр
Сообщение18.04.2016, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
gefest_md в сообщении #1116478 писал(а):
длине $|x|$ отрезка $OM$ ставлю в соответствие длину перпендикуляра $MN$ к прямой $a$
Можете ли Вы чуть формальнее записать Вашу функцию? А то создаётся впечатление, что либо Вы рассматриваете многозначную функцию, либо у Вас на самом деле функция двух аргументов ($|x|$ и "тупость / острота угла").

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий перпендикуляр
Сообщение18.04.2016, 23:46 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Вся прямая $b$ становится координатной осью с центром $O$. Число $x$ - это координата произвольной точки $M$ на оси. Число $f(x)$ - есть длина перпендикуляра $MN$, опущенного на другую прямую $a$. Функция однозначна, что следует из единственности перпендикуляра $MN$.

-- Пн апр 18, 2016 22:48:08 --

Если угол при точке $O$ прямой, то общий перпендикуляр найден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий перпендикуляр
Сообщение19.04.2016, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
По сути в п.п.1--4 всё правильно, только записано коряво.

-- 19.04.2016, 00:34 --

gefest_md в сообщении #1116490 писал(а):
Если угол при точке $O$ прямой
Невозможно по построению:
    gefest_md в сообщении #1116478 писал(а):
    Перпендикуляр $OA$ и прямая $b$ образуют тупой и острый углы (рассматриваю этот случай).

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий перпендикуляр
Сообщение19.04.2016, 01:13 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
grizzly в сообщении #1116501 писал(а):
По сути в п.п.1--4 всё правильно
Спасибо
grizzly в сообщении #1116501 писал(а):
Невозможно по построению
Я не строил, предположил, что угол не прямой, чтобы для этого случая (особенно) определить функцию $f$ и доказать существование общего перпендикуляра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий перпендикуляр
Сообщение27.04.2016, 17:54 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Теорему о существовании общего перпендикуляра можно доказать и по-другому. Сначала, не используя общий перпендикуляр, доказать утверждение: проекции всех точек одной из двух расходящихся прямых на другую заполняют на второй прямой лишь конечный отрезок. Затем можно доказать, что перпендикуляр восставленный из середины этого отрезка является общим.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group