Задание топологии

[allenv]

Работаем на прямой. Объявим открытыми пустое, R и все множества, представимые в виде пересечения двух множеств — открытого и замкнутого в обычной евклидовой топологии.
Будет ли это задавать топологию?

Используемые определения:
Пусть X- произвольное множество. Семейство $\tay $ подмножеств множества называется топологией на множестве , если выполнены следующие условия:
(O1) Объединение любого подсемейства семейства принадлежит ;
(O2) Пересечение любого конечного подсемейства семейства принадлежит ;
(O3) Пустое и X принадлежат.

Мой чисто интуитивный ответ: нет
Делала обычную проверку аксиом: доказательство второго пункта не двигается, ибо скобки просто не раскрыть, ибо вариантов получаемого множество.
Надо искать контрпример.

[Lia]

allenv в сообщении #1115048 писал(а):

второй пункт доказать не могу.

А как доказываете?

[demolishka]

В Вашей "топологии" точка --- открытое множество и эта "топология", если она таковой действительно является, должна совпадать с дискретной. Поэтому вопрос можно переформулировать так: верно ли, что любое подмножество прямой представимо в виде пересечения открытого и замкнутого(в стандартной топологии) множества.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.