Терминология в теории множеств

[arseniiv]

oskar_808 в сообщении #1113856 писал(а):

Дело даже не в этом.

А по-моему, весьма простое объяснение. Конечно, его можно включать в теорию категорий или формализовать ещё как-нибудь. А можно и не.

[oskar_808]

arseniiv в сообщении #1113860 писал(а):

А по-моему, весьма простое объяснение. Конечно, его можно включать в теорию категорий или формализовать ещё как-нибудь. А можно и не.

Вы меня простите, но то, что Вы сказали -- это вообще не объяснение. Образ бывает не только у всей области определения, но и у любого её подмножества, так что инвариантность относительно взятия прообраза тут ни при чём.

[Anton_Peplov]

Хорошо, пусть образ. Мне нравится.
А вот еще вопрос. Традиционно функцией называется упорядоченная тройка "область определения, область значений, график". Так это, например, в книжке Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов. Элементарная топология. М.: МЦНМО, 2012 на с. 57. Да и в книге Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986, на с. 18, хотя в формулировке определения функция отождествляется со своим графиком (подмножеством декартова произведения $X \times Y$, обладающим известными свойствами), далее все же проводится различие между отображениями "в" и "на", т.е. учитывается не только образ, но и объемлющая его область значений. Таким образом, согласно традиционному определению функция имеет только одну область значений т.е. две функции с совпадающим графиком, но разной областью значений - различные функции. Т.е. функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}: y = \sin x$ и $\mathbb{R} \to [-1, 1]: y = \sin x$ - разные функции (в частности, вторая - сюръекция, а первая - нет). Но, тем не менее, две эти "различные" функции совпадают всюду в области определения. Есть ли для этого "совпадают всюду в области определения" короткий общепринятый термин? Я бы назвал такие функции эквивалентными, тем более что такое совпадение - отношение эквивалентности, но этот термин уже занят в теории меры.
А есть ли короткий и общепринятый термин вместо "сокращение функции до сюръекции с той же областью определения" (т.е. для сокращения $f: X \to Y$ до $f_{|X, f(X)}: X \to f(X)$)?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1113850 писал(а):

По-английски есть хорошие термины codomain и image. Между ними болтается неоднозначный range.

На самом деле "image" ведет к обозначению $\operatorname{Im}$, который также часто обозначает мнимую часть ($\Im$ и $\Ре$ далеко не все любят). Поэтому $\operatorname{Ran}$ и соответственно "range" IMHO лучше.

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1113864 писал(а):

Поэтому $\operatorname{Ran}$ и соответственно "range" IMHO
лучше.

А это обозначение не ведет к путанице с рангом (линейного) отображения?:)

[Munin]

oskar_808 в сообщении #1113856 писал(а):

В теории категорий есть понятие "образ морфизма".

Вот только он-то как раз не то, что спрашивают.

-- 10.04.2016 18:04:44 --

Anton_Peplov в сообщении #1113865 писал(а):

А это обозначение не ведет к путанице с рангом (линейного) отображения?:)

Ранг обычно $\operatorname{rk},\operatorname{rg},\operatorname{rank},\operatorname{rang}.$

[oskar_808]

Red_Herring в сообщении #1113864 писал(а):

На самом деле "image" ведет к обозначению $\operatorname{Im}$, который также часто обозначает мнимую часть ($\Im$ и $\Ре$ далеко не все любят). Поэтому $\operatorname{Ran}$ и соответственно "range" IMHO лучше.

$\operatorname{Ran}$ уже занято. Так обозначается правое расширение Кана.

-- 10.04.2016, 18:09 --

Munin в сообщении #1113866 писал(а):

oskar_808 в сообщении #1113856 писал(а):

В теории категорий есть понятие "образ морфизма".

Вот только он-то как раз не то, что спрашивают.

С точностью до изоморфизма -- то. Тут речь идёт об оправдании терминологии. Совпадение с точностью до изоморфизма вполне оправдывает терминологию.

[arseniiv]

oskar_808 в сообщении #1113862 писал(а):

Образ бывает не только у всей области определения, но и у любого её подмножества, так что инвариантность относительно взятия прообраза тут ни при чём.

Выберите по непустому подмножеству у любого множества осмысленным образом. Если нам дана только одна функция $f\colon A\to B$, у нас нет оснований предпочесть одно подмножество $A$ другому. Кроме самого $A$ и пустого. Но с пустым получается скукота.

Anton_Peplov в сообщении #1113863 писал(а):

Есть ли для этого "совпадают всюду в области определения" короткий общепринятый термин? Я бы назвал такие функции эквивалентными, тем более что такое совпадение - отношение эквивалентности, но этот термин уже занят в теории меры.

Можно попробовать назвать экстенсионально эквивалентными/равными. Только не знаю, совпадут ли у кого-нибудь ассоциации с моими.

-- Вс апр 10, 2016 20:12:27 --

Red_Herring в сообщении #1113864 писал(а):

На самом деле "image" ведет к обозначению $\operatorname{Im}$, который также часто обозначает мнимую часть

Потому можно писать $\operatorname{im}$ с маленькой. Вот так мнимую часть ещё, вроде, не звали.

[oskar_808]

Anton_Peplov в сообщении #1113863 писал(а):

А есть ли короткий и общепринятый термин вместо "сокращение функции до сюръекции с той же областью определения" (т.е. для сокращения $f: X \to Y$ до $f_{|X, f(X)}: X \to f(X)$)?

Эта штука (с точностью до изоморфизма, а то опять Munin будет придираться) -- это и есть образ морфизма f (иногда обозначается im(f)). Таким образом, $im(f): X \to Im(f)$.

-- 10.04.2016, 18:14 --

arseniiv в сообщении #1113872 писал(а):

Выберите по непустому подмножеству у любого множества осмысленным образом. Если нам дана только одна функция $f\colon A\to B$, у нас нет оснований предпочесть одно подмножество $A$ другому. Кроме самого $A$ и пустого. Но с пустым получается скукота.

Простите, но как это связано с инвариантностью относительно прообраза? Вот именно, никак.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1113864 писал(а):

На самом деле "image" ведет к обозначению $\operatorname{Im}$, который также часто обозначает мнимую часть ($\Im$ и $\Ре$ далеко не все любят).

Я привык, что $\operatorname{Im}$ с большой буквы, а $\operatorname{im}$ - с маленькой.

-- 10.04.2016 18:17:17 --

oskar_808 в сообщении #1113873 писал(а):

а то опять Munin будет придираться

Не буду.

[arseniiv]

oskar_808 в сообщении #1113873 писал(а):

Простите, но как это связано с инвариантностью относительно прообраза? Вот именно, никак.

Что такое «инвариантность относительно прообраза» и где она тут упоминалась?

[oskar_808]

arseniiv в сообщении #1113880 писал(а):

Что такое «инвариантность относительно прообраза» и где она тут упоминалась?

arseniiv в сообщении #1113855 писал(а):

Для любой просто больше не от чего инвариантно взять образ, кроме как от области определения (потому что если взять прообраз у codomain’а, получится domain, так что всяческие комбинации длиннее со взятием образа в конце всё равно дадут то же самое).

[arseniiv]

Понятно, сложили две фразы вместе, как будто так и надо. Нет, к сожалению, оно так не работает.

(Оффтоп)

Это качение бочек мне кое-кого напоминает. Не буду говорить, кого, потому что это очевидно. Непонятно только, почему бы не сказать по существу, где моя предполагаемая ошибка. Может быть, потому что моё предложение оказалось семантически неподъёмным? Но вот Anton_Peplov почему-то не жалуется, например.

Отвечу только на вопросы других участников.

[Red_Herring]

oskar_808 в сообщении #1113868 писал(а):

$\operatorname{Ran}$ уже занято. Так обозначается правое расширение Кана.

Я лично использовал Ran для области значений в статьях 70ые годы, по совету старшего коллеги, который использовал его гораздо раньше. Т.ч. уже занято раньше. Что касается заглавных/строчных букв (а никак не БОЛЬШИХ и маленьких) то я нахожу это неудобным

Кстати, топологи известны сквоттерничанием: например, стянули слово "спектральный" давным-давно занятое.

[oskar_808]

arseniiv в сообщении #1113882 писал(а):

Непонятно только, почему бы не сказать по существу, где моя предполагаемая ошибка. Может быть, потому что моё предложение оказалось семантически неподъёмным?

Я Вам уже сказал. Полагаю, что Вы всё прекрасно поняли, а сейчас просто пытаетесь выкрутиться. Ну что же, дело Ваше.

Могу повторить. Вы сказали, что образом функции $f$ следует называть именно $f(X)$, а не какое-нибудь $f(Z)$, где $Z\subset X$, ровно потому, что только $X$ является единственным подмножеством $X$ таким, что прообраз его образа равен ему самому. Во-первых, это не верно, а во-вторых, не поэтому. Образом функции $f$ следует называть именно $f(X)$, потому что это очень естественно и общепринято, и согласуется с обозначениями и понятиями из других областей математики (в частности, из теории категорий).