Колебания электростатика

[Stensen]

Доброго времени суток. Уважаемые помогите плз с задачей:
Нижняя пластина плоского воздушного конденсатора закреплена неподвижно, а верхняя висит на пружине жесткостью $k$ . Расстояния между пластинами $d_0 $. Когда к конденсатору прикладывают напряжение $U$, то верхняя пластина начинает колебаться с амплитудой $A = 0,1\cdot d_0$. Найти период колебаний $T$ и величину приложенного напряжения $U$. Площадь пластин $ S $, масса верхней пластины $m$.

Из 2-го закона Ньютона: $ma = mg - kx + F_e$ , где:
$F_e = \frac{\varepsilon_0 S U^2}{2 (d_0-x)^2}$ - сила притяжения пластин при подаче напряжения $U$. Формула получена из:
$F_e = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 S}$ , $Q=CU$ и $C=\frac{\varepsilon_0 S}{d_0 - x}$.
Переходя к дифурам, получаем нелинейную дифуру: $m \ddot{x} + kx - \frac{\varepsilon_0 S U^2}{2} \cdot \frac{1}{(d_0-x)^2} = mg$. Неужто ее надо решать или я что-то не так делаю?

[amon]

Подозреваю, что надо воспользоваться тем, что в окрестности положения равновесия почти всякое движение это гармоническое колебание.

[Stensen]

amon в сообщении #1109957 писал(а):

Подозреваю, что надо воспользоваться тем, что в окрестности положения равновесия почти всякое движение это гармоническое колебание.

Вы имеете в виду, что изменением силы $F_e$ в окрестности положения равновесия можно пренебречь и считать её постоянной? Если так, то её величина не влияет на период, а только смещает положение равновесия. Или Вы имели в виду что-то другое?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1110117 писал(а):

Если так, то её величина не влияет на период, а только смещает положение равновесия.

То есть задает амплитуду.

[Munin]

Stensen в сообщении #1109935 писал(а):

$F_e = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 S}$

А там точно двоечка?

[svv]

Да, двоечка правильная. $E=\frac{\text{поток в одну сторону}}{S}=\frac{\text{полный поток}}{2S}$

Решил оценить нелинейность. Потенциальная энергия как функция безразмерной координаты $\eta=\frac d {d_0}$ имеет такой вид:
$\Pi(\eta)=A(1-\eta)^2-\frac{B}{\eta}$,
где $A, B$ константы. Из $\Pi(1)=\Pi(0.8)$ следует $B=0.16 A$. Сначала построил функцию в Wolfram|Alpha:
plot (1-x)^2-0.16/x for x=0.8 to 1
На глаз выглядит как кусочек идеальной параболы. Дальше нашёл минимум: $\eta=0.901581$, что достаточно близко к $0.9$. Вывод: можно не заморачиваться.

[Munin]

svv в сообщении #1110215 писал(а):

Да, двоечка правильная. $E=\frac{\text{поток в одну сторону}}{S}=\frac{\text{полный поток}}{2S}$

Для заряженной плоскости. Но в конденсаторе-то поле вдвое больше!

[svv]

Так оно вдвое больше строго внутри, благодаря полю верхней пластины, на которую ищем силу со стороны нижней. Но верхняя сама на себя не действует (кто не верит: уберите нижнюю и посмотрите, ускоряет ли верхняя сама себя).

[Munin]

Понял.