2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простые Четырехугольники
Сообщение20.02.2016, 15:39 
Аватара пользователя


01/06/12
754
Adelaide, Australia
Появились две интересные задачи. Найдете выпуклый четырехугольник с наименьшей площадью у которого:

1. Все 4 стороны, 2 диагонали и площадь различные целые числа.
2. Все 4 стороны, 2 диагонали и площадь различные простые числа.

Решения можно свободно обсуждать тут или посылать на сайт Rivera: http://www.primepuzzles.net/problems/prob_064.htm

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение20.02.2016, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12658
1. Я бы составил ромб из четырёх одинаковых минимальных пифагоровых треугольников. То есть $(5,5,5,5,6,8,24)$. Скорее всего, далеко не минимальный, но всё же существующий :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение20.02.2016, 21:45 
Заслуженный участник


04/03/09
642
Числа различными должны быть. А то бы прокатил прямоугольник со сторонами 3 и 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение21.02.2016, 02:20 
Аватара пользователя


01/06/12
754
Adelaide, Australia
Должен отметить что у меня есть решение для первой задачи, но не уверен что оно минимально. А вот с второй задачей дела гораздо хуже. Есть только невыпуклый четырехугольник у которого все длины простые, а площадь не целая. Возможно решить вторую задачу будет очень сложно, так же сложно как найти совершенный кубоид:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B8%D0%B4

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение21.02.2016, 12:58 
Заслуженный участник


04/03/09
642
Вторую задачу решить несложно - таких четырехугольников просто нет. Возможно, убрав условие простоты площади(оставим ее целой), решения появятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение21.02.2016, 13:33 
Аватара пользователя


01/06/12
754
Adelaide, Australia
12d3 в сообщении #1100963 писал(а):
Вторую задачу решить несложно - таких четырехугольников просто нет. Возможно, убрав условие простоты площади(оставим ее целой), решения появятся.


Очень интересно. У вас есть доказательство? Хорошо убираем простоту площади. Для начала можно даже убрать ее целость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение21.02.2016, 15:53 
Заслуженный участник


04/03/09
642
dimkadimon в сообщении #1100982 писал(а):
У вас есть доказательство?

Да.
Рассмотрим два треугольника, на которые четырехугольник делится диагональю. По формуле Герона, учетверенная площадь у каждого будет квадратным корнем из целого числа. Сумма двух квадратный корней составляет учетверенную площадь всего четырехугольника, то есть целое число. Значит, оба корня тоже целые.
Тогда, если мы линейно увеличим четырехугольник вдвое, оба треугольника будут героновыми, а площадь геронова треугольника всегда кратна 6, а значит площадь "удвоенного" четырехугольника кратна 6. Но с другой стороны, его площадь равна учетверенному простому числу. Это может быть только в случае, если это простое число 3, и тогда суммарная площадь двух героновых треугольников равна 12. Геронов треугольник с минимальной площадью, равной шести - это всеми известный пифагоров треугольник со сторонами 3,4,5. Но тогда у исходного четырехугольника получается нецелые стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение22.02.2016, 14:29 
Аватара пользователя


01/06/12
754
Adelaide, Australia
Xорошее доказательство, спасибо. Ну значит ищем просто целую площадь. Задача все равно сложная и интересная.

У меня есть очень приятное улучшение для первой задачи. Я нашел выпуклый пятиугольник у которого все стороны, диагонали и площадь целые различные числа! Сначала не мог поверить что это возможно. Проверил, вроде работает. Пока не буду показывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение26.02.2016, 17:00 


21/11/12
375
dimkadimon в сообщении #1100785 писал(а):
Найдете выпуклый четырехугольник с наименьшей площадью у которого:

1. Все 4 стороны, 2 диагонали и площадь различные целые числа.

Можно ограничиться красивым четырехугольником, вписанным в окружность со сторонами
$$A=\dfrac{a^2+b^2+c^2-d^2}{2};B=\dfrac{b^2+c^2+d^2-a^2}{2};C=\dfrac{c^2+d^2+a^2-b^2}{2};D=\dfrac{d^2+a^2+b^2-c^2}{2}$$ и площадью $S=abcd$. Произведение диагоналей в нем - также целое число $D_1D_2=(ac)^2+(bd)^2$, если не ошибся. Из рациональности $D_1$ следует рациональность $D_2$, и достаточно соответствия $A,B,D_1$ сторонам геронова треугольника, который хорошо описан. Ограничение: наибольший из четырех квадратов не превышает суммы трех остальных.
А наименьшая площадь у вырожденного четырехугольника. Например $1,5,2,4,D_1=6,D_2=3.$ Он выпуклый считается :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение26.02.2016, 21:27 


21/11/12
375
P.S. Треугольник описан в литературе, имеется в виду. Да и не нужно никакого треугольника, диагонали всегда рациональны: $\dfrac{D_1}{D_2}=\dfrac{(ab)^2+(cd)^2}{(ad)^2+(bc)^2}.$ Это Вторая теорема Птолемея оказывается. Так что из любых $b^2+c^2+d^2>a^2>b^2,c^2,d^2$ следует некоторое решение в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение27.02.2016, 03:07 


21/11/12
375
P.S. P.S. $a,b,c,d$ - не любые числа. Дробь $\dfrac{\left[ (ac)^2+(bd)^2\right]\left[ (ad)^2+(bc)^2\right]}{\left[ (ab)^2+(cd)^2\right]}$ должна быть квадратом рационального числа. Простых решений не вижу. Погорячился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение27.02.2016, 07:50 
Аватара пользователя


01/06/12
754
Adelaide, Australia
Andrey A в сообщении #1102299 писал(а):
Можно ограничиться красивым четырехугольником, вписанным в окружность со сторонами

Хорошая идея, но нет гарантии что такой четырехугольник будет иметь минимальную площадь. Кстати решения для этой задачи опубликованы: http://www.primepuzzles.net/problems/prob_064.htm

Для первой задачи минимальный четырехугольник имеет площадь 378. Следущая задача (как я понял) будет про целый пятиугольник. Я нашел четырехугольник с простыми сторонами и диагоналями, но он невыпуклый и с нецелой площадью:

A=(0,0), B=(-1051,0), C=(-625.0965746907707,1231.4281433806302), D=(-590.8092293054234,50.925971444162)
тогда AB=1051, BC=1303, CD=1181, AD=593, AC=1381, BD=463 и площадь=299262.75833496224.


Остаются два вопроса:
Вопрос 1: есть ли выпуклый четырехугольник с простыми сторонами и диагоналями?
Вопрос 2: есть ли выпуклый четырехугольник с простыми сторонами и диагоналями, и целой площадью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение27.02.2016, 16:01 
Аватара пользователя


01/06/12
754
Adelaide, Australia
Ответ на второй вопрос уже есть. Его нашел Emmanuel: http://www.primepuzzles.net/problems/prob_064.htm

Он доказал что если все стороны и диагонали целые нечетные числа (сюда входят простые) то площадь не может быть целой. Площадь равна:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-(ac+bd+pq)(ac+bq-pq)/4}$

Чтобы $K$ было целым $(ac+bd+pq)(ac+bq-pq)/4$ должно быть целым. Но тут произведение двух нечетных чисел и оно не может делиться на 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение29.02.2016, 02:36 


21/11/12
375
dimkadimon в сообщении #1102562 писал(а):
Чтобы $K$ было целым...

Можно всё это упростить до евклидовой тройки $$(2K)^2+\left( \frac{a^2-b^2+c^2-d^2}{2}\right)^2=(pq)^2$$ При нечетных $a,b,c,d$ левая часть кратна четырём, т.е. $pq$ чётное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые Четырехугольники
Сообщение13.03.2016, 14:38 
Аватара пользователя


01/06/12
754
Adelaide, Australia
Продолжение задачи тут: http://primepuzzles.net/problems/prob_065.htm

1. Найдите минимальный выпуклый пятиугольник с целыми и различными сторонами, диагоналями и площадью.

2. Найдите выпуклый четырёхугольник с различными простыми сторонами и диагоналями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Toucan, maxal, Karan, PAV, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group