"Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром

[Ktina]

Треугольник, длины всех сторон и всех высот которого целые, назовём обворожительным.
Например, треугольник со сторонами $15, 20, 25$ - обворожительный.
А какой наименьший периметр может быть у обворожительного треугольника?

[Dmitriy40]

Если стороны и высоты могут быть именно целыми, то подходит например аналогичное Вашему решение со сторонами $(-15n, -20n, -25n)$ при бесконечно большом положительном $n$ - и стороны и высоты и периметр будут отрицательными, т.е наименьшими.
Если ограничиться неотрицательными числами, то наименьшее решение очевидно с нулевыми сторонами, высотами и периметром.
Если же решать "как белые люди" в натуральных числах, то перебор указывает на минимальность уже приведённого решения $15, 20, 25$. Печалька.

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1105378 писал(а):

...перебор указывает на минимальность уже приведённого решения $15, 20, 25$. Печалька.

Каким образом осуществляли перебор?

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1105412 писал(а):

Каким образом осуществляли перебор?

Сначала пытался в уме прикинуть критерии на площадь и высоты треугольника, доказал для равнобедренных треугольников чётность длины основания и отсутствие решений до длины основания $10$, потом для произвольных треугольников запутался, плюнул, сбацал программку перебора длин трёх сторон, отсеивания по неравенству треугольника, потом вычисление всех трёх высот через площадь треугольника (по Герону), отсеивание нецелых значений высот, ну и сортировку по длине периметра. В общем по тупому и без огонька. Для очень больших чисел может и будет ошибка в вычислениях, но уж до 15-ти знаков её быть не должно, а тут всего 2-4 знака. До периметра 100 решение ровно одно приведённое Вами.
Если интересно, возможные решения для периметра до 1000 ($h_x$ - высота к стороне $x$):

Используется синтаксис Text

P= 60, S=  150, a= 15, b= 20, c= 25, ha= 20, hb= 15, hc= 12 *
P=120, S=  600, a= 30, b= 40, c= 50, ha= 40, hb= 30, hc= 24
P=180, S= 1350, a= 45, b= 60, c= 75, ha= 60, hb= 45, hc= 36
P=210, S= 1050, a= 35, b= 75, c=100, ha= 60, hb= 28, hc= 21 *
P=240, S= 2400, a= 60, b= 80, c=100, ha= 80, hb= 60, hc= 48
P=300, S= 3750, a= 75, b=100, c=125, ha=100, hb= 75, hc= 60
P=360, S= 5400, a= 90, b=120, c=150, ha=120, hb= 90, hc= 72
P=390, S= 5070, a= 65, b=156, c=169, ha=156, hb= 65, hc= 60 *
P=420, S= 4200, a= 70, b=150, c=200, ha=120, hb= 56, hc= 42
P=420, S= 7350, a=105, b=140, c=175, ha=140, hb=105, hc= 84 *
P=480, S= 9600, a=120, b=160, c=200, ha=160, hb=120, hc= 96
P=540, S=12150, a=135, b=180, c=225, ha=180, hb=135, hc=108
P=600, S=15000, a=150, b=200, c=250, ha=200, hb=150, hc=120
P=630, S= 9450, a=105, b=225, c=300, ha=180, hb= 84, hc= 63
P=660, S=18150, a=165, b=220, c=275, ha=220, hb=165, hc=132 *
P=680, S=17340, a=136, b=255, c=289, ha=255, hb=136, hc=120 *
P=720, S=21600, a=180, b=240, c=300, ha=240, hb=180, hc=144
P=780, S=20280, a=130, b=312, c=338, ha=312, hb=130, hc=120
P=780, S=25350, a=195, b=260, c=325, ha=260, hb=195, hc=156
P=840, S=16800, a=140, b=300, c=400, ha=240, hb=112, hc= 84
P=840, S=29400, a=210, b=280, c=350, ha=280, hb=210, hc=168 *
P=900, S=33750, a=225, b=300, c=375, ha=300, hb=225, hc=180
P=960, S=38400, a=240, b=320, c=400, ha=320, hb=240, hc=192
* - пометил несократимые (надеюсь) варианты

[Ktina]

Dmitriy40
Большое спасибо!

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Да в общем-то не за что, компьютерным перебором любой решит такую несложную задачку, вот в уме или на бумажке ... Я начал, но запутался в вариантах. Так что если кто решит красиво - буду только рад просветиться. А данные будем считать привёл для сверки.

[svv]

Dmitriy40
А Вы можете модифицировать программу так, чтобы, если найден подходящий треугольник $(a, b, c)$, то треугольники вида $(na, nb, nc)$ исключались бы? ($n$ — натуральное, начиная с двух)
Тогда в output'е будет легче разглядеть новый интересный тип треугольника.

Вы звёздочкой случайно не новые типы обозначаете?

Всё, досмотрел до конца, вопрос отпал. Спасибо.

[Dmitriy40]

svv
Могу конечно, несложно, но есть ли смысл? Задача ведь была лишь про минимум, а не про все, это я уж так, от лени и простоты пару цифр поправить. В принципе, добавить буфер для хранения уникальных, поиск по нему и проверку делимости ... В общем пару часов писанины. Но надо ли? Тут я помечал руками, тоже стало интересно про новые конфигурации глянуть.

[scwec]

Используем параметризацию Кармайкла.
Все подобные целые треугольники относятся к одному классу, который определен тремя натуральными числами $(m,n,k)$ такими, что $\gcd(m,n,k)=1$
и $mn>k^2\ge\frac{{m^2}n}{2m+n}$.
Представитель класса - треугольник с целыми сторонами и высотами:
$a=n(m^2+k^2)^2{(n^2+k^2)}$
$b=m(m^2+k^2)(n^2+k^2)^2$
$c=(m+n)(mn-k^2)(m^2+k^2)(n^2+k^2)$
$h_a=2km(m+n)(mn-k^2)(n^2+k^2)$
$h_b=2kn(m+n)(mn-k^2)(m^2+k^2)$
$h_c=2kmn(m+n)(n^2+k^2)(m^2+k^2)$
Периметр треугольника $P=2mn(m+n)(m^2+k^2)(n^2+k^2)$
Обозначим $d=\gcd(a,b,c,h_a,h_b,h_c)$.
Стороны треугольника и высоты можно уменьшить в d раз - и наименьший периметр в классе равен $P/d$.
Замечу, что один и тот же класс может определяться разными тройками.
Например, тройки $(m,n,k)=(2,1,1),(3,1,1),(3,2,1)$ определяют класс в который попадает треугольник с наименьшим периметром $(25,20,15)$.

[Батороев]

Нашел м.б. второй по величине периметра треугольник: $a=b=25$, $c=30$

[Dmitriy40]

Да, похоже я погорячился с исключением равнобедренных треугольников.
Батороев, Вы правы.
Следующий будет $(25, 25, 40)$.
Из интересных ещё дальше: $(130, 169, 169)$, $(169, 169, 312)$, $(272, 289, 289)$. Остальные до $P<1000$ - кратные или были приведены выше.

[scwec]

Добавляются в список c $P>1000$, но с длинами сторон $\le{1000}$:
$(a,b,c;h_a,h_b,h_c)=$
$(289,289,510;240,240,136)$,
$(175,600,625;600,175,168)$,
$(350,625,625;600,336,336)$,
$(275,625,750;600,264,220)$,
$(580,609,841;609,580,420)$,
$(260,845,975;780,240,208)$,
$(845,910,975;840,780,728)$,
$(625,975,1000;936,600,585)$.

[Toucan]

Название треугольника изменено по просьбе ТС

[scwec]

По поводу названия этих треугольников.
Definition : An alt triangle is a triangle with three integer sides and three integer altitudes. The set of all alt triangles is denoted by Alt
Так они когда-то были названы Бухгольцом, так и называются. (Это для информации).